Integral de flujo.

4. Integral de flujo.

La discusión anterior sugiere que la suma $\sum_{k = 1}^{m} F \cdot N Δ S_{k}$ puede ser una aproximación aceptable de la masa total de fluido que atraviesa $S_{k}$ en la unidad de tiempo.

F

es la densidad de flujo de una corriente de fluido y

N

es el vector unitario normal a

S

definido por

N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |},

entonces la masa total de fluido (fluido neto) que pasa por

S

por unidad de tiempo “en la dirección” de

N

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} dA

Orientación. Nuestra expresión para el flujo total lleva implícita la escongencia de uno de los dos vectores normales unitarios. Escoger un vector unitario para la región

S

es equivalente a "orientar" la región (como veremos má adelante). Esta escogencia de

N

decide el signo de

F \cdot N .

En lo que sigue, siempre vamos a escoger

N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |}

Fig. 7.22:

S

se orienta con el

N

escogido

En las aplicaciones es frecuente convenir en cuál

N

se escoge, para poder interpretar el resultado de

\iint_{S} F \cdot N d S

como “flujo neto” en la dirección escogida.

La integral $\iint_{S} F \cdot N d S$ calcula el flujo neto: El flujo que pasa en la “dirección” de el vector $N$ escogido, “suma” y el flujo que pasa en la “dirección contraria”, “resta“. La suma de todo esto es el flujo neto.

Caso

z = f (x, y)

Como consecuencia tenemos que si

S : z = f (x, y)

con

f

de clase

C^{1}

sobre

\bar{D},

se puede parametrizar

S

con

r (x, y) = x i + y j + f (x, y) k

y entonces

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N d S & = & \iint_{D} F (r (x, y)) \cdot \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} d A \\ = & \iint_{D_{xy}} F (x, y, z) \cdot (- f_{x}, - f_{y}, 1) d A \end{matrix}

Integral de Flujo

-

Proyectando sobre varios varios planos

a

Proyectando sobre

XY

: Si

S : z = z (x, y)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(x, y) \in D_{xy}

$\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{D_{xy}} F (x, y, z (x, y)) \cdot (- z_{x}, - z_{y}, 1) d A$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{D_{xy}} F (x, y, z (x, y)) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{z}} d A con G_{z} \neq 0 en D_{xy}$

b

Proyectando sobre

XZ

: Si

S : y = y (x, z)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(x, z) \in D_{xz}

$\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{D_{xz}} F d A (x, y (x, z), z) \cdot (- y_{x}, 1, - y_{z}) dA$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xz}} F (x, y (x, z), z) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{y}} d A con G_{y} \neq 0 en D_{xz}$

c

Proyectando sobre

Y Z

: Si

S : x = x (y, z)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(y, z) \in D_{yz}

$\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{D_{yz}} F (x (y, z), y, z) \cdot (1, - x_{y}, - x_{z}) d A$

o, en "versión implícita",

\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{D_{yz}} F (x (y, z), y, z) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{x}} d A con G_{x} \neq 0 en D_{yz}

La integral $\iint_{S} F \cdot N d S$ puede diferir en el signo al cambiar el plano de proyección. Esto es así porque los vectores $(- z_{x}, - z_{y}, 1),$ $(- y_{x}, 1, - y_{z})$ y $(1, - x_{y}, - x_{z})$ pueden invertir la dirección. En todo caso, $\iint_{S} F \cdot N d S$ se interpreta como el flujo neto en la dirección del vector $N$ escogido.

Ejemplo199Flujo

Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

a: $F (x, y, z) = (z + 1) k$
b: $S$ es la superficie $z = 2 + y$ con dominio $D_{xy} : x^{2} + y^{2} = 1 .$

Fig. 7.23: Superficie

S

y su proyección

Solución. La superficie $S$ tiene ecuación $z = 2 + y .$ Además, proyectando sobre le plano $XY$ , $D_{xy}$ es el círculo de radio $1 .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xy}} (0, 0, z + 1) \cdot (- z_{x}, - z_{y}, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (0, 0, 2 + y + 1) \cdot (0, - 1, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} y + 3 dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (3 + r sen 𝜃) r drd𝜃 = \int_{0}^{2 π} \frac{6 + sen (𝜃)}{4} d𝜃 = 3 π \end{array}

Ejemplo200Flujo

Sea

a: $F (x, y, z) = (0, y, 0)$
b: $S$ el cilindro $z = 2 - \frac{x^{2}}{2},$ desde $y = 0$ hasta $y = 2,$ como se ve en la Figura 7.24.

Calcular $\iint_{S} F \cdot N d S$

Fig. 7.24: Superficie

S .

Solución.

Intuitivamente, el flujo no pasa a través de la superficie $S$ , así que la integral de flujo debería ser $0 .$

En este caso solo se puede proyectar sobre $Y Z$ o $XY$ . La proyección sobre $Y Z$ es un rectángulo.

Sea $S : G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = z - 2 + \frac{x^{2}}{2} .$ Entonces,

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{yz}} F d A \cdot \frac{\nabla G}{G_{x}} dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 ∕ 2} (0, y, 0) \cdot (x, 0, 1) \frac{1}{x} dzdy = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 ∕ 2} 0 dzdy = 0 \end{matrix}

Ejemplo201Flujo

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

a: $F (x, y, z) = (x, yz, xy)$
b: $S$ el cilindro de ecuación $y = 4 - x^{2}$ limitado por el plano $x + z = 2,$ tal y como se muestra en la Figura 7.25.

Fig. 7.25: Superficie

S

Solución.

La superficie $S$ tiene ecuación $G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = y + x^{2} + 4$ . La proyección de $S$ sobre el plano $XZ$ es un triángulo.

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xz}} (x, yz, xy) \cdot \frac{\nabla G}{G_{y}} dA \\ = & \iint_{D_{xz}} (x, yz, xy) \cdot (2 x, 1, 0) dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x} (2 x^{2} + y z) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x} (2 x^{2} + (4 - x^{2}) z) dzdx \\ = & \frac{112}{15} \end{array}

Fig. 7.26: Superficie

S

Si calculamos proyectando sobre $Y Z$ tenemos $S : x = \sqrt{4 - y} .$

\iint_{S} F \cdot N dS = \int_{0}^{2} \int_{4 - {(z - 2)}^{2}}^{4} (\sqrt{4 - y} + \frac{yz}{2 \sqrt{4 - y}}) dy dz

Ejemplo202flujo

Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

a: $F (x, y, z) = 4 xz i + y z^{3} j + z^{2} k$
b: $S$ es la superficie $z^{2} + y^{2} + x^{2} = 4$ entre $z = 1$ y $z = 2 .$

Fig. 7.27: Superficie

S

Solución.

La superficie $S$ tiene ecuación $G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4$ . La proyección $D_{xy}$ es el círculo $x^{2} + y^{2} = 3 .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xy}} (4 x z, y z^{3}, z^{2}) \cdot \frac{\nabla G}{G_{z}} dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x z, y z^{3}, z^{2}) \cdot (\frac{x}{z}, \frac{y}{z}, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2}) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x^{2} + y^{2} (4 - x^{2} - y^{2}) + 4 - x^{2} - y^{2}) dA \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{\sqrt{3}} (8 + 6 r^{2} - r^{4} + r^{4} cos 2 𝜃) r drd𝜃 \\ = & \frac{21 π}{4} . \end{array}

5.1

Calcule

I = \iint_{S} F \cdot N d S

donde

F

es el campo vectorial dado por

F (x, y, z) = y i - x j + 8 z k

S

la parte de la esfera de ecuación

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

que se encuentra dentro del cilindro

x^{2} + y^{2} = 4,

como se observa en la figura.

Fig. 7.28: Superficie

S

Vamos a proyectar sobre el plano

XY

. La proyección es el círculo

x^{2} + y^{2} \leq 2 .

Como $z = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ entonces podemos poner $N = \frac{(- x ∕ z, - y ∕ z, 1)}{| | (- x ∕ z, - y ∕ z, 1) | |} .$ Luego,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{S} (y, - x, 8 z) \cdot \frac{(- x ∕ z, - y ∕ z, 1)}{| | (- x ∕ z, - y ∕ z, 1) | |} | | (- x ∕ z, - y ∕ z, 1) | | dA \\ = & \iint_{D} 8 z dA \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} 8 \sqrt{9 - r^{2}} r drd𝜃 \\ = & \frac{16 π (5^{3 ∕ 2} - 9^{3 ∕ 2})}{- 3} \end{array}

5.2

Sea

F (x, y, z) = x y^{2} i + x^{2} y j + y k .

Sea

S

es la frontera del sólido

E

limitado por

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, S_{2} : z = 1

S_{3} : z = - 1

como se ve en la figura. Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ donde $N$ es el vector normal unitario exterior al sólido $E .$

Fig. 7.29: Curva

C

Observe que debe calcular con

N

siempre exterior al sólido

E .

$\iint_{S} F \cdot N d S = π$

5.3

Sea

F (x, y, z) = x i + y j + z k

S

es la superficie de ecuación

z = 1 + x^{2} + y^{2}, con 1 \leq z \leq 3

, tal y como se muestra en la figura. Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS .

Fig. 7.30: Superficie

E .

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{R_{xy}} (x, y, 1 + x^{2} + y^{2}) \cdot (- 2 x, - 2 y, 1) dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{2}} (1 - r^{2}) r drd𝜃

5.4

Sea

F (x, y, z) = (0, x + y, z) .

Calcule la integral de superficie

\iint_{S} F \cdot N d S

, donde

S

es el trozo de cilindro de ecuación

z = 1 - {(x - 2)}^{3}

que está limitado por los planos

y = 0

y = 3

z = 1

z = 2

tal y como se muestra en la figura.

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \int_{1}^{3} \int_{0}^{3} (0, x + y, 1 - {(x - 2)}^{3}) \cdot (- 3 {(x - 2)}^{2}, 0, 1) dydx \\ = & \int_{1}^{3} \int_{0}^{3} (1 - {(x - 2)}^{3}) dydx \\ = & \int_{1}^{3} \int_{0}^{3} (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 9) dydx \\ = & 3 \int_{1}^{3} (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 9) dx = 3 {(- \frac{x^{4}}{4} + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 9 x) |}_{0}^{3} = 6 \end{array}

5.5

Sea

S

la superficie de ecuación

z = x^{2} + y^{2}

que se encuentra limitada por los planos

z = 1,

z = 3,

y = x

y el plano

x = 0,

tal y como se muestra en la figura. Calcule

\iint_{S} F \cdot N d S

F (x, y, z) = (x, y, z^{2})

Fig. 7.31: Superficie

S

Proyectamos sobre

XY

$\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{S} F \cdot N d S \\ = & \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{1}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 4 r^{2}} r dr d𝜃 \end{matrix}$

5.6

Sea

F (x, y, z) = (xy, x, z + 1)

y sea

S

la porción de superficie de ecuación

z = 4 - y^{2}

limitada por las superficies

z = 3

x = 4

z = 0

x = y

, tal y como se muestra en la Figura 7.32 . Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S .

Fig. 7.32: Superficie

S

Proyectamos sobre

XY

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N d S & = & \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} (xy, x, z + 1) \cdot (0, 2 y, 1) dx dy \\ = & \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} 2 xy + z + 1 dx dy \\ = & \int_{1}^{2} \int_{y}^{4} 2 xy + 4 - y^{2} + 1 dx dy \end{matrix}

Fig. 7.33: Superficie

S