Longitud de una curva.

2. Longitud de una curva.

Consideremos una curva $C$ regular y simple, parametrizada por $r$ en $[a, b] .$ Para calcular la longitud de $C,$ la idea es partir el intervalo $[a, b]$ en $n$ partes $[a, t_{1}] \cup [t_{1}, t_{2}] \cup . . . \cup [t_{n - 1}, b]$ y considerar una línea poligonal inscrita en $C,$ como se muestra en la figura.

Figura 8.8: Longitud de arco como una integral de Riemann.

La longitud de la curva (“rectificable”) se define como el límite al cual tiende la suma de las longitudes de los segmentos de la línea poligonal cuando

| | P | | = Máx (t_{i - 1} - t_{i}) \to 0

n \to \infty,

es decir

s = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | |

Si $C$ es regular, por el teorema del valor medio podemos poner $| | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) | |$ con $ξ_{i} \in] t_{i}, t_{i - 1} [$ y concluir

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r^{'} (ξ_{i}) △ t | | = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

Definición 26 ((Longitud de una curva).).

Sea $C$ regular, simple y parametrizada por $r (t), t \in [a, b] .$ Si $ds = | | r^{'} (t) | | dt,$ entonces la longitud (de arco) de $C$ es

s = \int_{C} 1 \cdot ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

Además, la longitud de arco no depende de la parametrización de $C$ (ni, por tanto, de la orientación).

Sea

C

parametrizada por

r (t)

con

t \in [a, b] .

I Caso. Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} dt

II Caso: Si

C : y = f (x)

y = f (x)

entonces tomando

x = t

tenemos

s = \int_{C} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} dx

III Caso: Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} dt

Ejemplo215

Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio $a .$

Solución. La circunferencia $C$ se puede parametrizar con

C : r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{a sen (t)}} j con t \in [0, 2 π [.

r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- a sen (t)}} + i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} j

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(a sen t)}^{2} + {(a cos t)}^{2}} dt = \int_{0}^{2 π} a dt = 2 aπ

Ejemplo216

Calcular la longitud de la hélice $x (t) = 2 cos (t), y (t) = 2 sen (t), z (t) = t ∕ 4$ con $t \in [0, 2 π] .$

Solución.

$r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{2 sen (t)}} j + \underset{z (t)}{\underset{⏟}{t ∕ 4}} k$ con $t \in [0, 2 π] .$

$r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- 2 sen (t)}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} j + \underset{z^{'} (t)}{\underset{⏟}{1 ∕ 4}} k$

\begin{array}{rcl} \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt & = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 {sen}^{2} (t) + 4 {cos}^{2} (t) + \frac{1}{16}} dt \\ = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{\frac{65}{16}} dt = 2 π \sqrt{\frac{65}{16}} . \end{array}