Ecuaciones Diferenciales exactas.

1. Ecuaciones Diferenciales exactas.

Definición 17.

Una ecuación diferencial de primer orden

M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0 o equivalentemente M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(3.1)

es exacta en un rectángulo

R

, si existe una función

F (x, y)

tal que el diferencial total de

F (x, y)

denotado

dF (x, y)

^a sea igual a

M (x, y) dx + N (x, y) dy

, es decir, si existe una función

F (x, y)

tal que

dF (x, y) = \frac{∂F (x, y)}{∂x} dx + \frac{∂F (x, y)}{∂y} dy = M (x, y) dx + N (x, y) dy,

de donde se extrae, en tal caso que $\frac{∂F (x, y)}{∂x} = M (x, y) y \frac{∂F (x, y)}{∂x} = N (x, y)$ , para toda $(x, y)$ perteneciente a la región rectangular R.

De acuerdo a lo anterior, como $dF (x, y) = 0$ , la solución de la ecuación diferencial que se obtiene por integración, viene dada en forma implícita por $F (x, y) = C$ , con $C$ una constante arbitraria.

El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente para conocer cuándo una ecuación es exacta y su demostración nos proporciona un método para obtener la solución general:

F (x, y) = C .

Teorema 3.

Sean $M (x, y)$ y $N (x, y)$ funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas en un rectángulo $R$ . Entonces, la ecuación $M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0$ es exacta si y sólo si se verifica:

\frac{∂M (x, y)}{∂y} = \frac{∂N (x, y)}{∂x}; \forall (x, y) perteneciente a la región R.

(3.2)

Demostración.

$(⇒)$ Supongamos que la ecuación $M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0$ es exacta. Entonces, existe una función $F (x, y)$ tal que:

\frac{∂F (x, y)}{∂x} = M (x, y) y \frac{∂F (x, y)}{∂y} = N (x, y);

por tanto:

\frac{\partial^{2} F (x, y)}{∂y∂x} = \frac{∂M (x, y)}{∂y} y \frac{\partial^{2} F (x, y)}{∂x∂y} = \frac{∂N (x, y)}{∂x} .

Puesto que las primeras derivadas parciales de $M$ y $N$ son continuas en $R$ , también lo son las derivadas parciales segundas cruzadas de $F$ ; por tanto, éstas son iguales y se tiene que:

\frac{∂M (x, y)}{∂y} = \frac{∂N (x, y)}{∂x}, \forall (x, y) \in R .

$(⇐)$ Dada la ecuación $M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0$ , suponga que $\frac{∂M (x, y)}{∂y} = \frac{∂N (x, y)}{∂x}$ . Hay que demostrar que existe una función $F$ tal que $\frac{∂F (x, y)}{∂x} dx + \frac{∂F (x, y)}{∂y} dy = M (x, y) dx + N (x, y) dy$ , osea, $F$ debe satisfacer simultáneamente dos condiciones a saber:

\frac{∂F (x, y)}{∂x} = M (x, y) y \frac{∂F (x, y)}{∂y} = N (x, y) .

Si $\frac{∂F (x, y)}{∂x} = M (x, y)$ entonces:

F (x, y) = \int M (x, y) dx = G (x, y) + φ (y),

(3.3)

donde $G (x, y)$ es una primitiva de $M (x, y)$ respecto de $x$ . Ahora, derivamos parcialmente respecto de $y$ la expresión obtenida para $F$ y la igualamos a $N (x, y) :$

\frac{∂F (x, y)}{∂y} = \frac{∂G (x, y)}{∂y} + φ^{'} (y) = N (x, y),

de donde despejamos

φ^{'} (y)

φ^{'} (y) = N (x, y) - \frac{∂G (x, y)}{∂y} .

(3.4)

Si esta expresión sólo depende de $y$ , podremos integrar y obtener $φ (y)$ que, sustituida en 3.3 nos dará la expresión de $F (x, y)$ .

Queda por demostrar que 3.4 sólo depende de $y$ . Para ello, comprobamos que su derivada parcial respecto de $x$ es cero:

\frac{\partial}{∂x} (N (x, y) - \frac{∂G (x, y)}{∂y}) = \frac{∂N}{∂x} - \frac{\partial}{∂x} \frac{∂G}{∂y} = \frac{∂N}{∂x} - \frac{\partial}{∂y} \frac{∂G}{∂x} = \frac{∂N}{∂x} - \frac{∂M}{∂y} = 0 .

Método de resolución

Si la ecuación 3.1 es exacta, existe una función $F$ de modo que:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = dF (x, y),

por tanto, se tiene que $dF (x, y) = 0$ y la solución viene dada en su forma implícita $F (x, y) = C,$

donde $F (x, y)$ se obtiene siguiendo los pasos vistos en la demostración del teorema 4.2, con $C$ es una constante arbitraria.

Ejemplo60

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

(a) $(x^{2} + y^{2} + 2 x) dx + (2 xy + 3 y^{2}) dy = 0$ .

(b) $(cos x sen x - x y^{2}) dx + y (1 - x^{2}) dy = 0, y (0) = 2 .$

Solución

(a) Se comprueba primero que se trata de una ecuación exacta:

\frac{\partial}{∂y} (x^{2} + y^{2} + 2 x) = 2 y = \frac{\partial}{∂x} (2 xy + 3 y^{2}) .

Por tanto, la solución general viene dada por $F (x, y) = C$ , siendo $F$ una función tal que:

\frac{∂F}{∂x} = x^{2} + y^{2} + 2 x = M (x, y),

(3.5)

\frac{∂F}{∂y} = = 2 xy + 3 y^{2} = N (x, y) .

(3.6)

Se calcula $F (x, y)$ . Integrando la ecuación 3.5 respecto de $x$ se tiene de esta manera:

F (x, y) = \int (x^{2} + y^{2} + 2 x) dx = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + x^{2} + φ (y) .

Derivando esta expresión respecto de $y$ , se tiene que:

\frac{∂F}{∂y} = 2 xy + φ^{'} (y) .

Igualando esta ecuación a la ecuación 3.6:

2 xy + φ^{'} (y) = 2 xy + 3 y^{2},

y despejando $φ^{'} (y)$

φ^{'} (y) = 3 y^{2} \Rightarrow φ (y) = \int 3 y^{2} dy = y^{3} + k .

Se puede tomar $k = 0$ , ya que en la solución final de la ecuación diferencial esta constante quedará suprimida en la constante $C$ . Por tanto, la función $F$ buscada es:

F (x, y) = \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + x^{2} + y^{3},

y la solución general de la ecuación diferencial es:

\frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + x^{2} + y^{3} = C .

(b) Se comprueba que la ecuación es exacta:

\frac{\partial}{∂y} (cos x sen x - x y^{2}) = - 2 xy = \frac{\partial}{∂x} (y (1 - x^{2})) .

Por tanto, la solución general viene dada por $F (x, y) = C$ , siendo $F$ una función tal que:

\frac{∂F}{∂x} = cos x sen x - x y^{2},

(3.7)

\frac{∂F}{∂y} = y (1 - x^{2}) .

(3.8)

En este caso, es más sencillo comenzar integrando la ecuación 3.8 respecto de $y$ :

F (x, y) = \int y (1 - x^{2}) dy = \frac{(1 - x^{2}) y^{2}}{2} + Ψ (x) .

Derivando ahora esta expresión respecto de $x$ , se tiene

\frac{∂F}{∂x} = - x y^{2} + Ψ^{'} (x) .

Igualando esta ecuación a la ecuación 3.7 se tiene:

- x y^{2} + Ψ^{'} (x) = cos x sen x - x y^{2},

de donde $Ψ^{'} (x) = cos x sen x$ y $Ψ (x) = - \frac{{cos}^{2} x}{2} .$

Por tanto,

F (x, y) = \frac{(1 - x^{2}) y^{2}}{2} - \frac{{cos}^{2} x}{2},

y la solución general de la ecuación diferencial es:

$\frac{(1 - x^{2}) y^{2}}{2} - \frac{{cos}^{2} x}{2} = C$ , o bien, $(1 - x^{2}) y^{2} - {cos}^{2} x = C_{1} .$

Imponiendo la condición inicial, $y (0) = 2$ , se tiene que $4 = C_{1}$ y sustituyendo este valor de $C_{1}$ , se obtiene la solución del problema de valor inicial dado:

$(1 - x^{2}) y^{2} - {cos}^{2} x = 4$ o bien, $y^{2} = \frac{4 - {cos}^{2} x}{(1 - x^{2})}$ con $1 - x^{2} \neq 0 .$

Puede ingresar a página interactiva Ecuación diferencial Exacta para verificar paso a paso los resultados del proceso de resolución.

Ejemplo61

Considere la ED F: $(\frac{1}{x} - \frac{y}{x^{2}}) dx + (1 +$ f(x) ⋅ ln ⁡ x)dy = 0 en el intervalo $] 1, + \infty [$

1.

Suponiendo que F es exacta establezca una ED en

f(x) y luego determine

f(x)

Observe que:

$M (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}} \Rightarrow M_{y} = \frac{- 1}{x^{2}}$

$N (x, y) = 1 + f (x) \cdot ln x \Rightarrow N_{x} (x, y) = ln x f^{'} (x) + \frac{1}{x} f (x)$

Luego para que la ED dada sea exacta debe cumplirse

ln x f^{'} (x) + \frac{1}{x} f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

es decir, $f^{'} (x) + \frac{1}{x ln x} f (x) = - \frac{1}{x^{2} ln x}$ : ED Lineal en $f (x)$ (se estudiará en próximas secciones).

Ahora en la ED anterior si la multiplicamos por el factor integrante $e^{\int \frac{1}{x ln x}} = e^{ln (ln x)} = ln x$

$ln x \cdot f^{'} (x) + \frac{1}{x} f (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow \int {(ln x \cdot f (x))}^{'} dx = ∫ - \frac{1}{x^{2}} dx$

$ln x \cdot f (x) = \frac{1}{x} + C$

$f (x) = \frac{1}{x ln x} + \frac{C}{ln x}$ haciendo $C = 0$ puede tomar $f (x) = \frac{1}{x ln x}$

2.

Sustituya la f(x) obtenida en el punto anterior y resuelva la ED exacta F

Cambiando $f (x) = \frac{1}{x ln x}$ en F se tiene que resolver ahora la ED exacta:

(\frac{1}{x} - \frac{y}{x^{2}}) dx + (1 + \frac{1}{x}) dy = 0 (A)

Note existe una función potencial F(x,y) tal que la ED se escribe $\frac{∂F}{∂x} dx + \frac{∂F}{∂y} dy = 0$ (B)

Comparando (A) y (B) se concluye debe darse

$\frac{∂F}{∂x} = \frac{1}{x} - \frac{y}{x^{2}}$ (1)

$\frac{∂F}{∂y} = 1 + \frac{1}{x}$ (2)

Integrando (1) conrespecto a $x$ a ambos lados, se tiene $F (x, y) = ln x + \frac{y}{x} + P (y)$ para alguna función $P$ , luego si la derivamos parcialmente con respecto a $y$ se tiene

$\frac{∂F}{∂y} = \frac{1}{x} + P^{'} (y)$ e igualando a (2)

$1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + P^{'} (y) \Rightarrow 1 = P^{'} (y) \Rightarrow P (y) = y + K$

de donde la solución generala de F viene dada por $ln x + \frac{y}{x} + y + K = C$ , es decir,

ln x + \frac{y}{x} + y = B, con B = C - K

Ejemplo62

Resolver la ecuación diferencial:

(y e^{xy} + 2 x - 1) dx + (x e^{xy} - 2 y + 1) dy = 0

En un primer momento se verifica que la ecuación diferencial es exacta:

\begin{matrix} M (x, y) = y e^{xy} + 2 x - 1 \Rightarrow M_{y} = y (e^{xy} x) + e^{xy} = e^{xy} (xy + 1) \\ N (x, y) = x e^{xy} - 2 y + 1 \Rightarrow N_{x} = x (e^{xy} y) + e^{xy} = e^{xy} (xy + 1) \end{matrix}} \Rightarrow M_{y} = N_{x} \Rightarrow la ED es exacta,

luego de esta forma existe una función $f (x, y)$ tal que

\frac{∂f}{∂x} = y e^{xy} + 2 x - 1 y \frac{∂f}{∂y} = x e^{xy} - 2 y + 1

Si consideramos $\frac{∂f}{∂y} = x e^{xy} - 2 y + 1$ e integramos con respecto a $y$ :

$f (x, y) = e^{xy} - y^{2} + y + h (x) (*)$

Derivamos (*) con respecto a $x$ , se tiene:

\frac{∂f}{∂x} = \frac{\partial}{∂x} [e^{xy} - y^{2} + y + h (x)] = e^{xy} y + h^{'} (x)

Ahora utilizando la condición $\frac{∂f}{∂x} = y e^{xy} + 2 x - 1$ para despejar $h^{'} (x)$ :

y e^{xy} + h^{'} (x) = y e^{xy} + 2 x - 1 \Rightarrow h^{'} (x) = 2 x - 1 \Rightarrow h (x) = x^{2} - x + C_{1}

Sustituimos $h (x)$ en (*) para obtener:

f (x, y) = e^{xy} - y^{2} + y + x^{2} - x + C_{1}

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial exacta es:

\begin{array}{rcl} f (x, y) = C_{2} & \Rightarrow & e^{xy} - y^{2} + y + x^{2} - x + C_{1} = C_{2} \\ \Rightarrow & e^{xy} - y^{2} + y + x^{2} - x = C \end{array}

Puede ingresar a página interactiva Ecuación diferencial Exacta para verificar paso a paso los resultados del proceso de resolución.

Ejemplo63

Resolver el problema de valores iniciales:

$(\frac{1}{1 + y^{2}} + cos x - 2 xy) \frac{dy}{dx} = y (y + sen x)$ , $y (0) = 1$

Primero escribimos la ecuación diferencial de la forma diferencial:

- y (y + sen x) dx + (\frac{1}{1 + y^{2}} + cos x - 2 xy) dy = 0

de donde se tiene que

$M (x, y) = - y (y + sen x)$ $N (x, y) = \frac{1}{1 + y^{2}} + cos x - 2 xy$

$\Rightarrow \frac{∂M}{∂y} = - (2 y + sen x)$ $\Rightarrow \frac{∂N}{∂x} = - sen x - 2 y$

por lo que la ecuación es exacta y de esta forma existe una función $f (x, y)$ tal que

\frac{∂f}{∂x} = - y (y + sen x) y \frac{∂f}{∂y} = \frac{1}{1 + y^{2}} + cos x - 2 xy

considerando $\frac{∂f}{∂x} = - y (y + sen x)$ , luego integrando con respecto a $x$ , se tiene

f (x, y) = - y^{2} x + y cos x + h (y)

de donde derivando parcialmente $f (x, y)$ con respecto a $y$ , es decir, $\frac{∂f (x, y)}{∂y} = - 2 yx + cos x + h^{'} (y)$ , posteriormente usando que $\frac{∂f}{∂y} = \frac{1}{1 + y^{2}} + cos x - 2 xy$ , se obtiene

h^{'} (y) = \frac{1}{1 + y^{2}} \Rightarrow h (y) = arctan y + C_{1}

y de esta forma la familia de soluciones implícitas de la ecuación viene dada por :

- y^{2} x + y cos x + arctan y = C

si usamos $y (0) = 1 \Rightarrow 1 + arctan 1 = C \Rightarrow C = 1 + \frac{π}{4}$ .

Finalmente la solución al problema de valores iniciales viene dada por

- y^{2} x + y cos x + arctan y = 1 + \frac{1}{4} π

Ejemplo64

En el siguiente ejemplo, se desea determinar una función $g (x)$ de forma tal que la ecuación diferencial $(3 x^{2} - y^{3}) dx + (3 x y^{2}) g (x) dy = 0$ sea exacta.

En efecto , patra para que la ecuación diferencial dada $(3 x^{2} - y^{3}) dx + (3 x y^{2}) g (x) dy = 0$ se exacta debe cumplirse que

$\frac{∂M}{∂y} = - 3 y^{2} = \frac{∂N}{∂x} = 3 y^{2} g (x) + 3 x y^{2} g^{'} (x)$

\begin{array}{rcl} \Rightarrow & - 3 y^{2} = 3 y^{2} [g (x) + x g^{'} (x)] \\ \Rightarrow & x g^{'} (x) + g (x) = - 1 \end{array}

¹ ⇒ d dx [xg(x)] = −1 ⇒ xg(x) = −x + C ⇒ g(x) = −1 + C x

En particular, si $C = 0 \Rightarrow g (x) = - 1$ o también, si $C = 1 \Rightarrow g (x) = - 1 + \frac{1}{x}$ . Note dicha función $g (x)$ no es única pues involucra una constante arbitraria $C$ que puede tomar cualquier valor en $ℝ$ .

Ejemplo65 Ejemplos complementarios mediante videos

1. Considere la ecuación diferencial $(y \cdot P (y) + ln x) dx + \frac{xy}{y - 1} dy = 0$ . Halle una función $P (y)$ de tal forma que ED sea exacta con $y > 1$ .

Puede ingresar al link https://youtu.be/bxNLv5UKpLg o en su defecto escanear el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejercicio.

2. Determine una función $N (x, y)$ de tal forma que la ED $(y sen x + x^{2} y - x) dx + N (x, y) dy = 0$ sea exacta y luego resuelvala.

Puede ingresar al link https://youtu.be/VKhLWiW9Ovw o en su defecto escanear el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejercicio.

Ejercicios 3.1 — Ejercicios de retroalimentación

Ejercicio 1.1

Verifique que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas, luego resolverlas. En caso de no estar la ED dada en la forma

m (x, y) dx + n (x, y) dy = 0

se recomienda escribirla de dicha forma antes de resolverla hasta obtener solución general. Posteriormente ingrese a página interactiva Ecuación diferencial Exacta para comprobar paso a paso dichos resultados.

1.: $(2 x y^{3} - 6 x^{2} y^{2}) dx + (3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3} y) dy = 0$
2.: $(e^{2 y} - y cos (xy)) dx + (2 x e^{2 y} - x cos (xy) + 2 y) dy = 0$
3.: $(1 + e^{x} y + x e^{x} y) dx + (x e^{x} + 2) dy = 0 .$
4.: $(2 xy - {sec}^{2} x) dx + (x^{2} + 2 y) dy = 0$
5.: $(y^{2} - sen (x)) dx + (2 xy - {sec}^{2} (y)) dy = = 0$
6.: $\frac{dy}{dx} = \frac{6 x^{2} + y^{3}}{5 - 3 x y^{2}}$ con $y (1) = 1$
7.: $(\frac{xy}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 2 xy - \frac{y}{x}) dx + (x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} - ln (x) - \frac{2}{y}) dy = 0$
8.: $(\frac{x}{x^{2} + y^{2}}) dy - (\frac{y}{x^{2} + y^{2}}) dx = 0$
9.: $\frac{dy}{dx} = \frac{x - y cos x}{sen x + y}$
10.: $(sen (xy) + xy cos (xy)) dx + (x^{2} cos (xy)) dy = 0$

1.: $x^{2} y^{3} - 2 x^{3} y^{2} = C$
2.: $e^{2 y} x - sen xy + y^{2} = C$
3.: $xy e^{x} - 2 y + x = C$
4.: $x^{2} y - y^{2} - tan x = C$
5.: $x y^{2} + cos x - tan y = C$
6.: $x y^{3} - 5 y + 2 x^{3} = - 2$
7.: $x^{2} y + y + y \sqrt{x^{2} + 1} - y ln x - 2 ln y = C$
8.: $- arctan (\frac{x}{y}) = C$
9.: $\frac{- x^{2}}{2} + y sen x + \frac{y^{2}}{2} = C$
10.: $x sen (xy) = C$

Ejercicio 1.2

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

1.: $(e^{2 y} - y cos xy) dx + (2 x e^{2 y} - x cos xy + 2 y) dy = 0$
2.: $(1 + e^{x} y + xy e^{x}) dx + (x e^{x} + 2) dy = 0$
3.: $(2 xy - {sec}^{2} x) dx + (x^{2} + 2 y) dy = 0$
4.: $\frac{y}{x} cos x + \frac{2 y}{x^{2}} sen x + \frac{1}{x} sen x y^{'} = 0$
5.: $2 x ln ydx + (\frac{x^{2}}{y} + y \sqrt{y^{2} + 1}) dy = 0$ , $y (0) = \sqrt{2}$
6.: $(x + y^{2}) dx - 2 xydy = 0$
7.: $(2 xy + y^{4}) dx + (3 x^{2} + 6 x y^{3}) dy = 0$
8.: $(2 x y^{4} e^{y} + 2 x y^{3} + y) dx + (x^{2} y^{4} e^{y} - x^{2} y^{2} - 3 x) dy = 0$
9.: $(y + y cos (xy)) dx + (x + x cos (xy)) dy = 0$

1.: $e^{2 y} x - sen xy + y^{2} = C$
2.: $xy e^{x} + 2 y + x = C$
3.: $x^{2} y + y^{2} - tan x = C$
4.: $x^{2} y sen x = C$
5.: $x^{2} ln y + \frac{1}{3} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}$
6.: $\frac{- y^{2}}{x} + ln | x | = C$
7.: $x^{2} y^{3} + x y^{6} = 0$
8.: $x^{2} e^{y} + \frac{x^{2}}{y} + \frac{x}{y^{3}} = C$

Ejercicio 1.3

Determine el valor de

k

de tal modo que las siguientes ecuaciones diferenciales sean exactas

a): $(y^{3} + kx y^{4} - 2 x) dx + (3 x y^{2} + 20 x^{2} y^{3}) dy = 0$
b): $(6 x y^{3} + cos y) dx + (k x^{2} y^{2} - x sen y) dy = 0$

a): $k = 10$
b): $k = 9$

Ejercicio 1.4

Obtenga una función

M (x, y)

de forma que la ecuación diferencial

M (x, y) dx + (x e^{xy} + 2 xy + \frac{1}{x}) dy = 0,

sea exacta.

M (x, y) = e^{xy} y - \frac{y}{x^{2}} - y^{2} + ϕ (x)

Ejercicio 1.5

Determine una función

g (y)

de tal forma que la siguiente ecuación diferencial

(g (y) + e^{x}) dx + xg (y) (1 + sen (y)) dy = 0,

sea exacta.

g (y) = y - cos y

Ejercicio 1.6

Considere la ecuación diferencial

(3 y^{a} + 10 x y^{2}) dx + (6 x^{a - 1} y - 2 + 10 x^{2} y) dy = 0

con

a \in ℝ

. Determine el valor de

a

de tal forma dicha ecuación sea exacta y luego resolverla.

a = 2

y la solución general

3 x y^{2} + 5 x^{2} y^{2} - 2 y = C

Ejercicio 1.7

Determine los valores de

A

y de

B

que hacen exacta la ecuación diferencial:

(y^{3} - sen x - 2) dx + (Ax y^{2} + By cos x - 3 y^{2}) dy = 0

A = 3

B = 2

Ejercicio 1.8

Obtener una función

M (x, y)

de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial:

M (x, y) dx + (e^{x} cos y + 2 cos y) dy = 0

M (x, y) = e^{x} sen y + k (x)

Ejercicio 1.9

Resuelva la ecuación diferencial

(y e^{y} + \frac{x}{x^{2} + y^{2}}) y^{'} = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} - x e^{x}

e^{x} (1 - x) + e^{y} (1 - y) + arctan (\frac{x}{y}) = C

Ejercicio 1.10

Encuentre la función

f (x)

tal que la ecuación diferencial

e^{x} sen x + f (x) y^{2} - 3 + (2 xy - y^{2}) y^{'} = 0

sea exacta, luego resuélvala.

f (x) = 1

con Solución General:

- x y^{2} + 3 x + \frac{1}{2} e^{x} sen (x) - \frac{1}{2} e^{x} cos (x) - \frac{y^{3}}{3} = C

Ejercicio 1.11

Halle la función

P (y)

de tal forma que

(yP (y) + ln x) dx + \frac{xy}{y - 1} dy = 0

sea una ecuación diferencial exacta.

Ver video ejemplo complementario.

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