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Cálculo Superior
1. Parábolas
Walter Mora-Flores PIC
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1. Parábolas

Una parábola en un plano se puede definir de varias maneras. En nuestro caso solo consideramos una definición como "lugar geométrico" PIC y otra definición en términos de una ecuación general.

1.1 La Parábola como lugar geométrico

Definición 1 (La parábola como lugar geométrico.).

En un plano, una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos \(Q\) equidistantes de un punto fijo \(F\) (llamado foco) y de una recta fija \(L\) (llamada directriz) que no contiene a \(F\), es decir, \(\,d(Q,F)=d(Q,L).\,\)

  • El vértice \(V\) es el punto de la parábola más cercano al foco
  • El eje focal es la recta que pasa por el foco y el vértice

Figura 1: Parábola
Pensar | Observar

En el script que sigue,

1.
Seleccionamos y arrastramos el foco: ¿Qué observaciones podemos anotar?
2.
Comentar la frase "Al arrastrar el punto \(Q\) ’cobra vida’ la idea de la parábola como lugar geométrico"

Un momento por favor...

1.2 Propiedad focal de la parábola

En una parábola, la tangente en un punto \(\,Q\,\) actúa como un espejo plano. Si el foco se considera una fuente de luz, entonces, por la ley de reflexión, los rayos que inciden desde el foco se reflejan en la tangente siguiendo trayectorias paralelas al eje focal. Inversamente, si los rayos llegan paralelos al eje, se reflejan hacia el foco, que ahora actúa como receptor. Esta propiedad explica el uso de esta propiedad focal en antenas parabólicas y faros de automóviles.

Figura 2: Propiedad focal
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El script que sigue es una animación: El foco de la parábola puede jugar el papel de emisor o el de receptor.

2. Ecuación general

A mediados del siglo XVII (circa 1650), Pierre de Fermat (1601-1665) inició el estudio de las cónicas PIC (parábola, elipse e hipérbola) usando coordenadas (Geometría Analítica) y en 1655 John Wallis (1616-1703) demostró, reemplazando razonamiento geométrico con razonamiento algebraico, que las "cónicas" son curvas de ecuación polinomial de grado \(2\) (en \(x\) y \(y\)).

Teorema 1.

Sean \(\,A,B,C,D,E,F\,\) no todos nulos. La ecuación general de segundo grado de una curva \(\,\mathbf {C}\,\) es \begin {equation} \label {eqgeneralparabola} A\,x^2 + B\, x y + C\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end {equation} Sea \(\,\Delta =4 A C F-A E^2-B^2F+B D E-C D^2\,\). Tenemos

  • Si \(\mathbf {C}\) es una parábola entonces \(\,B^2-4AC=0\,\).
  • Si \(\,\Delta \neq 0\,\) y \(\,B^2-4AC=0\,\), entonces \(\mathbf {C}\) es una parábola

PIC Que \(B^2-4AC=0\) no siempre significa que la ecuación 1 representa una parábola. Pero si estamos seguros que es una parábola, entonces si \(B^2-4AC=0\)

La ecuación 1 tambíen puede ser una "cónica degenerada": Un punto, dos rectas (paralelas o que se intersecan) o algo "indefinido" (corresponden a objetos en el "mundo de los números complejos").

Pensar | Observar

En el script que sigue podemos cambiar los coeficientes de la ecuación general \[A\,x^2 + B\, x y + C\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0\]

1.
Determinemos un valor \(\,B\neq 0\,\), tal que la representación gráfica sea una parábola (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!)
2.
Pruebe con varios valores \(\,B=0\,\) y con \(\,B\neq 0\,\) de tal manera que obtengamos parábolas. Indique sus observaciones acerca del eje focal de la parábola
3.
Determinemos un valor \(\,B\neq 0\,\), tal que la representación gráfica no sea una parábola (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!), sino una recta o un par de rectas, un punto, o indefinida.

2.1 Ecuación canónica

Con la actividad anterior pudimos observar que si tenemos una parábola con \(\,B=0\,\), entonces \(\,A=0\,\) o \(\,C=0\,\) y el eje focal es paralelo al eje x o al eje y . Es decir, la rotación del eje focal respecto a los ejes ocurre cuando \(\,B\neq 0\,\).

Ahora, si \(\,B=0\,\) y \(\,A=0\,\) o \(\,C=0\,\), podemos completar cuadrados PIC y obtener una ecuación llamada "ecuación canónica" (o "natural"): En esta ecuación aparece la información del vértice, del foco y de la directriz.

Decimos que una parábola "está en posición estándar" si la directriz es paralela al eje x o paralela al eje y .

Parábola en posición estándar: Directriz paralela al eje y . Si la directriz es paralela al eje y entonces hay dos posibilidades: la parábola abre a la izquierda o abre a la derecha. Si el vértice es \(\,V=(h,k)\,\) entonces, usando al definicion de la parábola como "lugar geométrico", podemos deducir (en ambos casos), la llamada ecuación canónica (o natural)

Ecuación Canónica. \[(y-k)^2=4p(x-h) \; \mbox {y de aquí tenemos}\; \left \{\begin {array}{l} \mbox {$\bullet $ Vértice:}\; (h,k)\\ \mbox {$\bullet $ Foco:}\; (h+p,k)\\ \mbox {$\bullet $ Directriz: Recta }\; x= h-p\\ \end {array}\right . \]

Si \(\,p>0,\,\) la parábola abre a la derecha y si \(\,p<0,\,\) la parábola abre a la izquierda.

Parábola \(\mathbf {(y-k)^2=4p(x-h)}\).

Figura 3: Parábola con directriz \(L :\; y=h-p,\) paralela al eje \(\mathbf {y}\).

Parábola en posición estándar: Directriz paralela al eje x . Si la directriz es paralela al eje x entonces hay dos posibilidades: la parábola abre hacia arriba o abre hacia abajo. Si el vértice es \(\,V=(h,k)\,\) entonces, usando al definicion de la parábola como "lugar geométrico", podemos deducir (en ambos casos), la llamada ecuación canónica (o natural)

Ecuación Canónica.

\[ (x-h)^2=4p(y-k) \; \mbox {y de aquí tenemos}\; \left \{\begin {array}{l} \mbox {$\bullet $ Vértice:}\; (h,k)\\ \mbox {$\bullet $ Foco:}\; (h, k+p)\\ \mbox {$\bullet $ Directriz: Recta }\; y= k-p\\ \end {array}\right . \]

Si \(\,p>0,\,\) la parábola abre hacia arriba y si \(\,p<0,\,\) la parábola abre hacia abajo.

Parábola \(\mathbf {(x-h)^2=4p(y-k)}\).

Figura 4: Parábola con directriz \(L : \; y=k-p,\) paralela al eje \(\mathbf {x}\).

Ejemplo 1.

Hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la  directriz de la parábola cuya ecuación es \(y^2 - 6\,y - 2\,x + 17 = 0.\) Además realice la gráfica.

Solución. La ecuación canónica es de la forma \(\,(y-k)^2=4p(x-h)\,\). Se debe completar cuadrados PIC

\[\begin {array}{rcl} y^2 - 6\,y & = & 2\,x - 17 \\ & & \\ \left (y\;{+}\;\dfrac {-6}{2\cdot 1}\right )^2-\dfrac {6^2}{4\cdot 1} & = & 2\,x - 17 \\ & & \\ ( y - 3 ) ^2 {-9} & = &2\,x - 17 \\ & & \\ ( y - 3 ) ^2 & = &2\,x - 8 \\ & & \\ {( y - 3 ) }^2 & = & 2\,( x - 4 ) \\ \end {array}\]

1.
El vértice es \(\,V = (4,3)\,\) y como \(\,4p=2\; \;\;\Longrightarrow \;\; \;p=\frac {1}{2}>0.\,\)
2.
La parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en \(\,F= (4+\frac {1}{2}, \;3)\,\).
3.
La directriz es la recta de ecuación \(\,L :\;x = 4-\frac {1}{2}\,\). La gráfica se muestra en la Figura 1

Figura 5: Parábola \(\,( y - 3 )^2 = 2\,( x - 4 )\,\)
Ejemplo 2.

Hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la  directriz de la parábola cuya ecuación es \(\,2 x^2-4 x-2 y-4 = 0.\,\) Además realice la gráfica.

Solución. La ecuación canónica es de la forma \(\,(x-h)^2=4p(y-k)\,\). Se debe completar cuadrados PIC

\[\begin {array}{rcl} 2 x^2-4 x-2 y-4 & = & 0 \\ & & \\ 2\left (x\;{+}\;\dfrac {-4}{2\cdot 2}\right )^2-\dfrac {4^2}{4\cdot 2} & = & 2y+4 \\ & & \\ 2\left (x - 1 \right )^2 -2 & = &2y+4 \\ & & \\ ( x - 1 )^2 & = & \,( y +3 ) \\ \end {array}\]

1.
El vértice es \(\,V = (1,-3)\,\) y como \(\,4p=1\; \;\;\Longrightarrow \;\; \;p=\frac {1}{4}>0.\,\)
2.
Foco: \(\,F= (1,\;-3+\frac {1}{4})\,\).
3.
La directriz es la recta de ecuación \(\,L :\;y = -3-\frac {1}{4}\,\).
4.
Intersección eje x: \(\,2x^2-4x-4=0 \;\;\Longrightarrow \;\; x=1\pm \sqrt {3}\,\)
5.
Intersección eje y: \(\,-2 y-4=0 \;\;\Longrightarrow \;\; y=-2\,\)

La gráfica se muestra en la Figura 2

Figura 6: Parábola \(\, ( x - 1 )^2 = \,( y +3 )\,\)

Ejemplo 3.

Hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en \(\,(-1,2)\,\) y que contiene los puntos \(\,(0,3)\,\) y \(\,(0,1)\,\). Indique las características principales y realizace la representación gráfica.

Solución. Es conveniente hacer un dibujo y representar los datos. De acuerdo a la Figura 7 a al derecha, lo que tenemos es una parábola que abre a la derecha y su ecuación sería

\[(y-2)^2=4p(x+1)\]

Para determinar \(\,p\,\) usamos el hecho de que el punto \(\,(0,3)\,\) está en la parábola y, por tanto, satisface la ecuación: Sustituyendo \(\,x=0\,\) y \(\,y=3\,\) obtenemos

\[({ 3}-2)^2=4p({ 0}+1) \;\;\Longrightarrow \;\; p=\dfrac {1}{4}\]

Figura 7: Parábola \(\,( x + 2 )^2 = -4(y-4)\,\)

La ecuación de la parábola es \(\, (y-2)^2=(x+1)\,\)

Observe que el otro punto \(\,(0,1)\,\) solo lo usamos para establecer que la parábola abre a la derecha.

Características principales:

1.
Vértice \(\,(-1,2)\,\)
2.
Foco \(\,(-1+\frac {1}{4},\; 2)\,\)
3.
Directriz: La recta vertical de ecuación \(\,x=-1-\frac {1}{4}\,\)
4.
Intersección con el eje x: en \(\,x=3\,\)
5.
Intersección con el eje y: en \(\,y=1\,\) y \(\,y=3\,\)
Ejemplo 4.

Hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en \(\,(-2, 4)\,\) y foco en \(\,(-2, 3)\,\). Realizar la gráfica.

Solución. Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa, el eje de la parábola es vertical, además las distancia entre el foco y el vértice es \(\,|p|=1\,\) y como abre hacia abajo, \(\,p =-1.\,\) Entonces la ecuación canónica es, \[ {( x + 2 ) }^2 = {-4}(y-4)\] La directriz es la recta \(y = 5\) . La gráfica se muestra en la Figura 8

Figura 8: Parábola

3. Ejercicios

Ejercicio 3.1 Análisis de una parábola aleatoria
1.
Generación de la ecuación:
  • Presionar el botón “Ejercicio” genera una ecuación general de una parábola (sin rotación).
2.
Tareas requeridas:
(a)
Transformar la ecuación a su forma canónica.
(b)
Calcular:
  • Vértice \(\,(h, k)\,\)
  • Foco
  • Directriz
  • Eje de simetría
(c)
Graficar con:
  • Elementos calculados (destacados con colores/líneas diferenciadas)
  • Dos puntos simétricos \(\,(x_0, \pm y_0)\,\) o \(\,(\pm x_0, y_0)\,\) según corresponda
3.
Verificación:
  • Usar el botón “Respuesta” solo para contrastar con tu solución completa.

Generar ejercicio | Verificar
Gráfico de la Parábola
Zoom:

Ejercicio 3.2 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en \(\,(1,3)\,\) y foco en \(\,(2, 3)\,\).
El vértice es \(\,(h,k)=(1,3).\,\) Por la posición del foco se deduce que el eje es paralelo al eje x y la parábola abre hacia la derecha. Entonces la ecuación canónica es \(\,(y-3)^2=4p(x-1).\,\) Como \(\,p=\lvert \lvert (2,3)-(1,3)\rvert \rvert =1,\,\) la ecuación canónica es \(\,(y-3)^2=4(x-1).\,\)

Ejercicio 3.3 Determine la ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje xy que pasa por los puntos \(\,(0, 0), \;(-1,2)\,\) y \(\,(-2, -2)\,\)
La ecuación canónica es de la forma \(\,(y-k)^2=4p(x-h).\,\) Como contiene los tres puntos, entonces

\[ \left \{\begin {array}{rcl} (0-k)^2&=&4p(0-h)\\ (2-k)^2&=&4p(-1-h)\\ (-2-k)^2&=&4p(-2-h)\\ \end {array}\right .\;\Longrightarrow \;h= \dfrac {1}{24},\;p=-\dfrac {2}{3} \mbox {y}k=\dfrac {1}{3}\]

Por tanto, la ecuación canónica de la parábola es \[\left (y-\dfrac {1}{3}\right )^2=4\cdot -\dfrac {2}{3}\left (x-\dfrac {1}{24}\right )\]

Ejercicio 3.4 Determine la ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje xy que pasa por los puntos \(\,(0, 0), \;(-1,2)\,\) y \(\,(-2, -2)\,\)
La ecuación canónica es de la forma \(\,(y-k)^2=4p(x-h).\,\) Como contiene los tres puntos, entonces

\[ \left \{\begin {array}{rcl} (0-k)^2&=&4p(0-h)\\ (2-k)^2&=&4p(-1-h)\\ (-2-k)^2&=&4p(-2-h)\\ \end {array}\right .\;\Longrightarrow \;h= \dfrac {1}{24},\;p=-\dfrac {2}{3} \mbox {y}k=\dfrac {1}{3}\]

Por tanto, la ecuación canónica de la poarábola es \[\left (y-\dfrac {1}{3}\right )^2=4\cdot -\dfrac {2}{3}\left (x-\dfrac {1}{24}\right )\]

Ejercicio 3.5 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en \(\;(-1,1)\) y directriz \(\;y = 0\).
Como \(\,(h,k)=(-1,1)\,\) y \(\,p=1,\,\) entonces \(\,(x+1)^2=4(y-1).\,\)

Ejercicio 3.6 Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en \(\;(3,4)\) y directriz \(\;x = 7\).
La ecuación es \(\,(y-k)^2=4p(x-h)\,\) y abre a la izquierda. El vértice es \(\,(h,k)=(5,4)\,\) y \(\,p=-2.\,\) Entonces la ecuación canónica es \(\,(y-4)^2=-8(x-5).\,\)

Ejercicio 3.7 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en \(\,(2,3),\,\) eje focal paralelo al eje \(\mathbf {y}\)y que pasa por el punto \(\,(4,5).\,\)
\(\,(x-2)^2=2(y-3).\,\)

Ejercicio 3.8 Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola (o las parábolas) que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:

a.)
vértice en \(\,(2,0)\,\),
b.)
contiene al punto \(\,P = (8, b)\,\) con \(\,b >0,\,\)
c.)
la distancia de \(\,P\,\) a la directriz es 10,
d.)
eje de simetría paralelo al eje\(\,Y.\,\)
De acuerdo a d.) la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Por la posición del vértice y el punto \(\,(8,b),\,\) solo podría abrir hacia arriba. El vértice es\(\,(h,k)=(2,0)\,\) por lo que lo que la ecuación de la parábola es \(\,(x-2)^2=4p(y-0);\;\; p>0.\,\)

La directriz es \(\,y=k-p=-p.\,\) Para determinar\(\,p\,\) y \(\,b\,\) tenemos dos datos

1.
La distancia de\(\,(8,b)\,\) a la directriz es\(\,10,\,\) es decir\(\,b+p=10\,\)
2.
El punto\(\,(8,b)\,\) está en la parábola, es decir,\(\,(8-2)^2=4p(b)\,\)

\begin {eqnarray*} b&=&10-p\\ 36&=&4pb \;\Longrightarrow \; 36=4p(10-p) \;\Longrightarrow \; 36-40p+4p^2=0\\ \end {eqnarray*}

Con lo que\(\,p=1\,\) o\(\,p=9.\,\) Por lo tanto, las parábolas que cumplen estas condiciones son \(\,(x-2)^2=4y\,\) (cuando \(\,b=1\,\)) o\(\,(x-2)^2=36y\,\) (cuando \(\,b=9\,\)). Ambas parábolas se muestran en las Figura 9

Figura 9: Caso 1

Ejercicio 3.9 Determine la ecuación canónica y realice la representación gráfica (incluye foco e intersecciones con los ejes) de la parábola con vértice está en \(\,(5,-2)\,\) y cuya directriz es la recta de ecuación \(\,x=\frac {47}{9}\,\)
\(\,(y+2)^2=4\cdot -\dfrac {2}{9}(x-5)\,\)

Figura 10:

Ejercicio 3.10 Hay tres parábolas que satisfacen simultáneamente las condiciones que siguen. Determine la ecuación canónica de cada una de estas parábolas y el valor de \(\,b\,\) en cada caso.

1.
Vértice en \(\,(2,0),\,\)
2.
contiene al punto \(\,P = (b, 8)\,\) con \(\,b>2,\,\)
3.
la distancia de \(\,P\,\) a la directriz es 10.
El vértice es \(\,(h,k)=(2,0).\,\) Como \(\,b>2,\,\) la parábola solo podría abrir hacia arriba o hacia la derecha.

1.
Si abre hacia arriba, la ecuación canónica es \(\,(x-2)^2=4py.\,\) En este caso, como \(\,8+p=10\;\Longrightarrow \;p=2\,\) y entonces \(\,b=10.\,\) En este caso tenemos la pará]bola \(\,(x-2)^2=8y.\,\)
2.
Si abre hacia la derecha, la ecuación canónica es \(\,y^2=4p(x-2).\,\) En este caso, como la directriz tiene ecuación \(\,x=2-p,\,\) tenemos

\[\left \{\begin {array}{rcl} b-(2-p)&=&10\\ 64&=&4p(b-2)\\ \end {array}\right .\Longrightarrow \; p=8;\; \; b=4 \mbox {o} p=2;\;\; b=10 .\]

Las tres parábolas son \(\,(x-2)^2=8y;\;\,\) \(\,y^2=32(x-2)\;\,\) y \(\,\;y^2=8(x-2).\,\)

PIC

Figura 11: Las tres parábolas

Ejercicio 3.11 En la definición de la parábola como un lugar geométrico se indica que el foco no está en la directriz. ¿Qué pasa si el foco está en la directriz?
Si el foco está en la directriz tendríamos una recta (una cónica degenerada).

Ejercicio 3.12 Verificar que el vértice de la parábola \(\,y=ax^2+bx+c\,\) es el punto \(\,(-\frac {b}{2a},\; -\frac {\Delta }{4a})\,\)
Completando cuadrados obtenemos
\begin {eqnarray*} {a}x^2+{b}x+c - y &=& {a}\left (x+\dfrac {{b}}{2{a}} \right )^2-\dfrac {{b}^2}{4{a}}+c-y\\ &&\\ &=& a\left (x+\dfrac {{b}}{2{a}} \right )^2+\dfrac {-{b}^2+4{a}c}{4{a}}-y \;=\; a\left (x+\dfrac {{b}}{2{a}} \right )^2-\dfrac {\Delta }{4{a}}-y \mbox { si } \Delta ={b}^2-4{a}c.\\ \end {eqnarray*}

Entonces,

\[{a}x^2+{b}x+c - y =0 \;\;\Longrightarrow \;\; \left (x+\dfrac {{b}}{2{a}} \right )^2 \;=\; \dfrac {1}{{a}}\left (y+\dfrac {\Delta }{4{a}}\right ) \] y el vértice es \[\left (-\dfrac {{b}}{2{a}},\;-\dfrac {\Delta }{4{a}} \right ) \]

Ejercicio 3.13 Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos \(\,Q\,\) del plano xy tales que equidistan del punto \(\,(2,3)\,\) y de la recta de ecuación \(\,x=4\,\).
Se trata de una parábola con foco en \(\,(2,3)\,\) y directriz con ecuación \(\,x=4.\,\) Por lo tanto, la parábola tiene vértice en \(\,(3,3)\,\) y abre hacia la izquierda. Su ecuación es \(\,(y-3)^2=-4(x-3)\,\).

Tabla de Contenidos

  1. Cónicas
  2. Vectores y Geometría Analítica
    • Vectores en ℝ3
    • Producto punto y producto cruz
    • Rectas y planos
  3. Funciones de Varias Variables
    • Límites y continuidad
    • Derivadas parciales
    • Gradiente y direccionales
  4. Extremos y Optimización
    • Puntos críticos
    • Multiplicadores de Lagrange
  5. Integrales Múltiples
    • Dobles en regiones rectangulares
    • Dobles en coordenadas polares
    • Triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
  6. Cálculo Vectorial
    • Campos vectoriales
    • Divergencia y rotacional
    • Teoremas de Green, Stokes y Gauss

x Traducción LaTeX a HTML con Make4ht y JavaScritpt. W. Mora (2025). "Generar una Web Interactica con LaTeX (usando Make4ht e IA)"