Ejercicios

Ejercicio 3.13. Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:

1.: $- 3 x^{2} + 3 x - \frac{3}{2}$
2.: $9 x^{2} - 30 x + 25$
3.: $x^{2} + 4$
4.: $12 x - x^{2}$
5.: $\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{3}{4}$
6.: $5 x - 2 x^{2} + 4$

1.: $Δ = - 9$
2.: $Δ = 0$
3.: $Δ = - 16$
4.: $Δ = 144$
5.: $Δ = \frac{- 1}{2}$
6.: $Δ = 57$

Teorema 12.

Sea $P (x)$ un polinomio tal que $P (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a \neq 0$ y $Δ = b^{2} - 4 ac$

$i .)$

Δ < 0

entonces

P (x)

no es factorizable en el conjunto de los números reales

$ii .)$

Δ = 0

entonces

P (x)

es factorizable en el conjunto de los números reales y su factorización viene dada por:

: $a x^{2} + bx + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$

$iii .)$

Δ > 0

entonces

P (x)

es factorizable en el conjunto de los números reales y su factorización viene dada por:

: $a x^{2} + bx + c = a (x - α) (x - β); α = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} y β = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

Demostración:

$P (x)$: $= a x^{2} + bx + c$
: $= a [x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}]$
: $= a [x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}]$
: $= a [x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a})]$
: $= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}})]$

= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{Δ}{4 a^{2}})]

(3.18)

a partir de aquí consideramos los tres casos siguientes:

$i .)$

Δ < 0

entonces

- \frac{Δ}{4 a^{2}} > 0

, por lo que

P (x) \neq 0

\forall x \in I R

Debe aquí se deduce que

P (x)

no tiene ceros reales y por lo tanto

P (x)

no es factorizable (ver la consecuencia del teorema del factor anotado en la pagina anterior).

$ii .)$

Δ = 0

entonces por 3.18

$= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{0}{4 a^{2}}]$
$= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - 0]$
$= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}$

o sea:

Δ = 0

entonces

a x^{2} + bx + c = = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

$iii .)$

Δ > 0

entonces volviendo a 3.18 tenemos que:

$= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]$
$= a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}})}^{2}]$
$= a [(x + \frac{b}{2 a}) + \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}] [(x + \frac{b}{2 a}) - \sqrt{\frac{Δ}{4 a^{2}}}]$
$= a [x + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a}] [x + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}]$
$= a [x - (\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a})] [x - (\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a})]$
$= a (x - α) (x - β)$ donde $α = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ , $β = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

o sea:

Δ > 0

entonces:

a x^{2} + bx + c = a (x - α) (x - β)

donde

α = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

β = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

■

Ejemplo 121.

Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:

$a.) - 2 x^{2} + 3 x - 4 b.) x^{2} + 4 c.) - 4 x^{2} + 20 x - 25$

$d.) - 2 x^{2} - 6 x e.) 2 x^{2} + 5 x - 3 f.) x^{2} - x - 3$

Solución.

a.): $- 2 x^{2} + 3 x - 4$
: En este caso:
: $Δ = 3^{2} - 4 (- 2) (- 4)$
: $Δ = 9 - 32$
: $Δ = - 23$

Como $Δ < 0$ entonces $- 2 x^{2} + 3 x - 4$ no es factorizable en el conjunto de los números reales

b.): $x^{2} + 4$
: En este caso:
: $Δ = {(0)}^{2} - 4 (1) (4)$
: $Δ = 0 - 16$
: $Δ = - 16$

Como $Δ < 0$ entonces $x^{2} + 4$ no es factorizable en el conjunto de los números reales

c.): $- 4 x^{2} + 20 x - 25$
: En este caso:
: $Δ = {(20)}^{2} - 4 (- 4) (- 25)$
: $Δ = 400 - 400$
: $Δ = 0$

Como $Δ = 0$ entonces:
$- 4 x^{2} + 20 x - 25 = - 4 {(x + \frac{- 20}{2 \cdot 4})}^{2}$
$= - 4 {(x - \frac{20}{8})}^{2} = - 4 {(x - \frac{5}{2})}^{2}$

$∴ - 4 x^{2} + 20 x - 25 = - 4 {(x - \frac{5}{2})}^{2}$

d.): $- 2 x^{2} - 6 x$
: En este caso:
: $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 (- 2) (0)$
: $Δ = 36$

: $∴ - 2 x^{2} - 6 x = - 2 (x - 0) (x + 3)$
: $- 2 x^{2} - 6 x = - 2 x (x + 3)$

: Como $Δ > 0$ entonces:
: $- 2 x^{2} - 6 x = - 2 (x - α) (x - β)$ con:
: $α = \frac{- (- 6) - \sqrt{36}}{2 (- 2)}$ ; $β = \frac{- (- 6) + \sqrt{36}}{2 (- 2)}$
: $α = \frac{6 - 6}{- 4}$ ; $β = \frac{6 + 6}{- 4}$
: $α = 0$ ; $β = - 3$

La expresión $- 2 x^{2} - 6 x$ se puede factorizar en un menor número de pasos usando la factorización por factor común.

e.): $2 x^{2} + 5 x - 3$
: En este caso:
: $Δ = {(5)}^{2} - 4 (2) (- 3)$
: $Δ = 25 + 24$
: $Δ = 49$
: Como $Δ > 0$ entonces
: $2 x^{2} + 5 x - 3 = 2 (x - α) (x - β)$ con:
: $α = \frac{- 5 - \sqrt{49}}{2 (2)}$ ;
: $β = \frac{- 5 + \sqrt{49}}{2 (2)}$
: $α = \frac{- 5 - 7}{4}$ ; $β = \frac{- 5 + 7}{4}$
: $α = - 3$ ; $β = \frac{1}{2}$
: $∴ 2 x^{2} + 5 x - 3 = 2 (x + 3) (x - \frac{1}{2})$

f.): $x^{2} - x - 3$
: En este caso:
: $Δ = {(- 1)}^{2} - 4 (1) (- 3)$
: $Δ = 1 + 12$
: $Δ = 13$
: Como $Δ > 0$ entonces
: $x^{2} - x - 3 = 1 \cdot (x - α) (x - β)$ con:
: $α = \frac{- (- 1) - \sqrt{13}}{2 (1)}$ ;
: $β = \frac{- (- 1) + \sqrt{13}}{2 (1)}$
: $α = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ ; $β = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$
: $∴ x^{2} - x - 3 = (x - \frac{1 - \sqrt{13}}{2}) (x - \frac{1 + \sqrt{13}}{2})$

[Siguiente][Anterior][Inicio]