Ejercicios

Ejercicio 3.9. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $5 x^{2} - 8$
2.: $9 c^{2} - 4 a^{2} - 4 ab - b^{2}$
3.: $\frac{4}{9} r^{2} - \frac{25}{16} s^{2}$
4.: ${(6 a + 5 b)}^{2} - {(4 c + 7 d)}^{2}$
5.: ${(a + b)}^{2} - 4 c^{2}$
6.: $\frac{2}{3} y^{2} - \frac{5}{4}$

1.: $(\sqrt{5} x + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{5} x - 2 \sqrt{2})$
2.: $(3 c - 2 a - b) (3 c + 2 a + b)$
3.: $(\frac{2 r}{3} + \frac{5 s}{4}) (\frac{2 r}{3} - \frac{5 s}{4})$
4.: $(6 a + 5 b - 4 c - 7 d) (6 a + 5 b + 4 c + 7 d)$
5.: $(a + b - 2 c) (a + b + 2 c)$
6.: $(\sqrt{\frac{2}{3}} y - \frac{\sqrt{5}}{2}) (\sqrt{\frac{2}{3}} y + \frac{\sqrt{5}}{2})$

Teorema 8.

Si $a \in I R, b \in I R$ entonces se cumple que:

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

Demostración:

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$	=	$a (a^{2} - ab + b^{2}) + b (a^{2} - ab + b^{2})$
	=	$a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$
	=	$a^{3} + (- a^{2} b) + a^{2} b + a b^{2} - a b^{2} + b^{3}$
	=	$a^{3} + (- a^{2} b + a^{2} b) + (a b^{2} - a b^{2}) + b^{3}$
	=	$a^{3} + b^{3}$

Por lo tanto: $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ y decimos que

(a + b) (a^{2} - ab + b)

(3.17)

es la factorización de la expresión $a^{3} + b^{3}$ .

En 3.17 $a^{2} - ab + b^{2}$ no es factorizable en el conjunto de los números reales, lo cual será estudiado posteriormente.

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Ejemplo 116.

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.): $27 + p^{3}$
b.): $8 p^{3} + 125 q^{3}$
c.): $x^{3} + 2$
d.): $5 a^{3} + 2 b^{3}$

Solución.

a.)

27 + p^{3}

$27 + p^{3}$	$=$	${(3)}^{3} + p^{3}$
	$=$	$(3 + p) (3^{2} - 3 p + p^{2})$
	$=$	$(3 + p) (9 - 3 p + p^{2})$

Por lo que la factorización de $27 + p^{3}$ es $(3 + p) (9 - 3 p + p^{2})$

$∴ 27 + p^{3} = (3 + p) (9 - 3 p + p^{2})$

b.)

8 p^{3} + 125 q^{3}

$8 p^{3} + 125 q^{3}$	$=$	${(2 p)}^{3} + {(5 q)}^{3}$
	$=$	$(2 p + 5 q) [{(2 p)}^{2} - (2 p) (5 q) + {(5 q)}^{2}]$
	$=$	$(2 p + 5 q) (4 p^{2} - 10 pq + 25 q^{2}$

Por lo que la factorización de $8 p^{3} + 125 q^{3}$ es $(2 p + 5 q) (4 p^{2} - 10 pq + 25 q^{2}$

$∴ 8 p^{3} + 125 q^{3} = (2 p + 5 q) (4 p^{2} - 10 pq + 25 q^{2})$

c.)

x^{3} + 2

$x^{3} + 2$	$=$	$x^{3} + {(\sqrt[3]{2})}^{3}$
	$=$	$(x + \sqrt[3]{2}) [x^{2} - x \sqrt[3]{2} + {(\sqrt[3]{2})}^{2}]$
	$=$	$(x + \sqrt[3]{2}) (x^{2} - x \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

Por lo que la factorizacón de $x^{3} + 2$ es $(x + \sqrt[3]{2}) (x^{2} - x \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

$∴ x^{3} + 2 = (x + \sqrt[3]{2}) (x^{2} - x \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

d.)

5 a^{3} + 2 b^{3}

$5 a^{3} + 2 b^{3}$	$=$	${(\sqrt[3]{5} a)}^{3} + {(\sqrt[3]{2} b)}^{3}$
	$=$	$[\sqrt[3]{5} a + \sqrt[3]{2} b] [{(\sqrt[3]{5} a)}^{2} - \sqrt[3]{5} a \sqrt[3]{2} b + {(\sqrt[3]{2} b)}^{2}]$
	$=$	$(\sqrt[3]{5} a + \sqrt[3]{2} b) (\sqrt[3]{25} a^{2} - \sqrt[3]{10} ab + \sqrt[3]{4} b^{2})$

Por lo que la factorización de $5 a^{3} + 2 b^{3}$ es $(\sqrt[3]{5} a + \sqrt[3]{2} b) (\sqrt[3]{25} a^{2} - \sqrt[3]{10} ab + \sqrt[3]{4} b^{2})$

$∴ 5 a^{3} + 2 b^{3} = (\sqrt[3]{5} a + \sqrt[3]{2} b) (\sqrt[3]{25} a^{2} - \sqrt[3]{10} ab + \sqrt[3]{4} b^{2})$

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