Intervalos

1. Intervalos

Imaginemos que vamos a comprar tela y que el metro vale $/C/ 1000$ el metro. Si solo tenemos $/C / 20 000$ , entonces como máximo, podremos comprar $20$ metros de tela

Si denotamos con " $x$ " la cantidad de metros de tela que vamos a comprar, entonces la situación de comprar " $x$ " metros de tela se puede describir como " $0 \leq metros de tela \leq 20$ ". Usando la notación de conjuntos escribimos: ${x tal que 0 \leq x \leq 20}$ y podemos hacer una representación gráfica de este conjunto en la recta real

Figura 1.1: "

x

" metros de tela en un intervalo de

0

20

Pero en la realidad pasan situaciones como "voy a comprar entre $5$ metros y $10$ metros" o "voy a comprar más de $5$ metros pero estrictamente menos de $20$ metros". Estas situaciones las podemos escribir así:


Situación en palabras: Comprar " $x$ " metros de tela en un intervalo		Descripción del intervalo

"voy a comprar entre $5$ metros y $10$ metros"		$5 \leq x \leq 10$

"voy a comprar $5$ o más metros pero menos de $20$ metros"		$5 \leq x < 20$

"voy a comprar más de $5$ metros pero menos de $10$ metros"		$5 < x < 10$

Notación de intervalos y representación gráfica.

También usamos una notación con paréntesis cuadrados para describir un intervalo.

1.

El intervalo es "cerrado" en un extremo si el extremo se incluye y es "abierto" en un extremo si ese extremo se excluye.

2.

Un intervalo es cerrado si ambos extremos se incluyen y lo denotamos como

[a, b]

3.

Un intervalo es abierto si ambos extremos se excluyen y lo denotamos como

] a, b [

4.

Un intervalo es semiabierto si algún extremo se excluye, por ejmplo

] a, b]

[a, b [

5.

Para realizar la representación gráfica de un intervalo procedemos así:

(a): dibujamos un segmento de recta de longitud adecuada
(b): dibujamos un segmento más grueso que inicia y finaliza en en los extremos del intervalo
(c): en los extremos del segmento, dibujamos un disco relleno si el extremo está incluido en el intervalo y un disco sin relleno si el extremo no está incluido.

Puedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

Repasemos



En estos intevalos suponemos que $a \leq b$

Notación en términos de desigualdades	Notación de intervalo con paréntesis cuadrados	Representación gráfica

$a \leq x \leq b$	$[a, b]$

$a < x \leq b$	$] a, b]$

$a < x < b$	$] a, b [$

$a \leq x < b$	$[a, b [$

Casos especiales.

Como $a \leq b$ podemos tener el caso $a = b .$ En esta situación:

1.: $[a, a] = a$
2.: $[a, a [= \emptyset,] a, a] = \emptyset,] a, a [= \emptyset$
3.: A veces en un intervalo se excluye un valor, por ejemplo $[2, 6 [- 3$ indica que que en el intervalo $[$ 2,6[ además del extremo " $6$ ", también se excluye el valor " $3$ "

Ejemplo. En la siguiente tabla se muestran seis filas. En cada fila, las columnas describen un intervalo de las maneras distintas que hemos indicado.

En la primera columna: Notación en términos de desigualdades. En la segunda columna: Notación de intervalo con paréntesis cuadrados y en la tercera columna: Representación gráfica


$- 1 \leq x \leq 3$		$[- 2, 3]$

$5 < x \leq 7$		$] 5, 7]$

$4 \leq x \leq 4$		$[4, 4]$

$2 \leq x < 4$		$[2, 4 [$

$2 \leq x \leq 3$		$[2, 3]$

$1 \leq x < 7$		$[1, 7 [$

Práctica. En el "script" (programa) que sigue, puede presionar el botón "Generar Intervalo" para generar un intervalo. Luego en papel, dibuje la representación gráfica del intervalo. Presione el botón "Dibujar intervalo" para verificar su respuesta.

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