Distribucion de Poisson

18. Distribución de Poisson

Una variable aleatoria $X$ se dice que sigue una distribución de Poisson con parámetro $λ > 0$ si su rango es el conjunto $0, 1, 2, \dots,$ y la distribución de probabilidad está dada por:

P [X = x] = p (x; λ) = \frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!} para x = 0, 1, 2, \dots .

(1.27)

En general la descripción de un proceso de Poisson no es necesariamente sencilla, en [5] puede encontrarse una discusión simplificada.

Ejemplo 18.

Dado que $p (x; λ) \geq 0$ y recurriendo a la expresión:

e^{x} = ∑_{i = 0}^{\infty} \frac{x^{i}}{i!},

se obtiene que

∑_{i = 0}^{\infty} p (i; λ) = ∑_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i} e^{- λ}}{i!} = e^{- λ} ∑_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i}}{i!} = e^{- λ} e^{λ} = 1,

con lo cual $p (x; λ)$ cumple con las propiedades para ser una distribución.

Al igual que para el caso de binomial se dispone de una herramienta que facilita los cálculos que involucran a la distribución de Poisson.

Puedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

Ejemplo 19.

Las consultas arriban a un servidor siguiendo una distribución de Poisson con 12 consultas por minuto.

1.: Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea menor o igual a 7.5 segundos?
2.: Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea mayor a 10 segundos?

Solución

1.

Si en 60 segundos arriban 12 consultas, entonces la tasa de llegada es

λ = \frac{12}{60} = 0.2

consultas por segundo. Para un intervalo de

t = 7.5

segundos, el número esperado de consultas es

λt = 0.2 \times 7.5 = 1.5

El tiempo entre consultas sigue una distribución exponencial con parámetro $λ = 0.2$ . La probabilidad de que el intervalo sea menor o igual a 7.5 segundos es:

P (T \leq 7.5) = 1 - e^{- λ \cdot 7.5} = 1 - e^{- 1.5}

También puede calcularse usando Poisson: la probabilidad de que el intervalo sea menor o igual a 7.5 segundos equivale a la probabilidad de que en 7.5 segundos llegue al menos una consulta:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - \frac{e^{- 1.5} {(1.5)}^{0}}{0!} = 1 - e^{- 1.5}

2.

Para

t = 10

segundos,

λt = 0.2 \times 10 = 2

. La probabilidad de que el intervalo sea mayor a 10 segundos es:

P (T > 10) = e^{- λ \cdot 10} = e^{- 2}

Equivalentemente, usando Poisson:

P (X = 0) = \frac{e^{- 2} {(2)}^{0}}{0!} = e^{- 2}

Para una distribución de Poisson se tiene que la esperanza es

\begin{array}{rcl} μ_{X} & = & ∑_{i = 0}^{\infty} i \frac{λ^{i}}{i!} e^{- λ} \\ = & e^{- λ} ∑_{i = 1}^{\infty} \frac{λ^{i}}{(i - 1)!} \\ = & e^{- λ} ∑_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i + 1}}{(i)!} \\ = & e^{- λ} λ ∑_{i = 0}^{\infty} \frac{λ^{i}}{(i)!} \\ = & e^{- λ} λ e^{λ} \\ = & λ. \end{array}

Para calcular la varianza de una distribución de Poisson es mejor utilizar la función generadora de momentos.

La función generadora de momentos para una Poisson de parámetro $λ$ se calcula recurriendo a la expresión (1.25).

m_{X} (t) = ∑_{k = 0}^{\infty} \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!} e^{tk} = e^{- λ} ∑_{k = 0}^{\infty} \frac{{(λ e^{t})}^{k}}{k!} = e^{λ (e^{t} - 1)}

Derivando dos veces y evaluando en cero, lema(2), se obtiene que $E [X^{2}] = λ^{2} + λ$ que unido al lema (1) permite obtener que la varianza de una Poisson de parámetro $λ$ es $λ.$

Teorema 13.

Para una variable aleatoria Poisson se cumple $μ_{X} = λ$ y $σ_{X}^{2} = λ$

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