Derivadas de una funcion definida de manera implicita.

12. Derivadas de una función definida de manera implícita.

Supongamos que se conoce que $z$ es una función de $x$ e $y,$ es decir, $z = f (x, y),$ pero que $z$ está definida de manera implícita por una ecuación del tipo

F (x, y, z) = 0

Estas situaciones ya las hemos encontrado antes, por ejemplo en la ecuación de una esfera: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} .$ Esta ecuación define a $z$ como una función de $x$ y $y$ y en este caso, $z$ se puede despejar:

z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} y z = - \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}

Cuando una función está definida de manera implícita, no siempre es posible despejarla: Si

y^{2} + xz + z^{2} - e^{z} - 1 = 0

no hay posibilidad de despejar

z = z (x, y),

aunque teóricamente podría ser posible en un entorno de algún punto. En todo caso, si podemos calcular las derivadas parciales.

Fig. 4.7: Superficie

S : y^{2} + xz + z^{2} - e^{z} - 1 = 0

Teorema 8.

Si $F$ es diferenciable en un conjunto abierto $D$ de $ℝ^{n}$ y si la ecuación $F (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}) = 0$ define a $x_{n}$ como una función diferenciable $x_{n} = f (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n - 1})$ en algún conjunto abierto de $ℝ^{n - 1},$ entonces

\frac{∂f}{\partial x_{i}} = - \frac{\frac{∂F}{\partial x_{i}}}{\frac{∂F}{\partial x_{n}}}

en aquellos puntos en los que

\frac{∂F}{\partial x_{n}} \neq 0 .

Derivada de una función definida de manera implícita. Si

z = z (x, y)

está definida de manera implícita por

F (x, y, z) = 0,

de acuerdo a las hipótesis del teorema 8, entonces

\frac{∂z}{∂x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}}

\frac{∂z}{∂y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}}

También

\frac{∂y}{∂x} = - \frac{F_{x}}{F_{y}} y \frac{∂y}{∂z} = - \frac{F_{z}}{F_{y}} .

\frac{∂x}{∂y} = - \frac{F_{y}}{F_{x}} y \frac{∂x}{∂z} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} .

Ejemplo108Derivación implícita

Sea $z$ definida de manera implícita por $F (x, y, z) = xyz + x + y - z = 0 .$ Como se cumplen las condiciones del teorema 8 entonces

z_{x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{zy + 1}{xy - 1} y z_{y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}} = - \frac{zx + 1}{xy - 1}

Ejemplo109Derivación implícita

Calcule $z_{x}$ y $z_{y}$ si $F (x, y, z) = x^{2} - 2 y^{2} + 3 z^{2} - yz + y = 0$ define a $z$ como $z = z (x, y) .$

Solución. Dado que

F_{x} = 2 x, F_{y} = - 4 y - z + 1, F_{z} = 6 z - y,

entonces si

F_{z} \neq 0,

1: $z_{x} = - \frac{2 x}{6 z - y}$
2: $z_{y} = - \frac{1 - 4 y - z}{6 z - y}$

ℝ^{2} - {(x, y) \in ℝ^{2} : 6 z (x, y) - y = 0 .}

Ejemplo110Derivación implícita

Considere la función $z$ definida de manera implícita por $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 .$ Calcular $z_{x}, z_{y}, z_{xx}, z_{yy}$ y $z_{yx}$

Solución.

$z$ está definida de manera implícita por $F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 .$ Entonces,

z_{x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{x}{z} y z_{y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}} = - \frac{y}{z}

Para calcular

z_{xy}, z_{xx}

z_{xy}

debemos notar que

z_{x}

z_{y}

no son funciones definidas de implícita, como tal derivamos de manera ordinaria.

1: $z_{xx} = \frac{\partial (z_{x})}{∂x} = \frac{\partial}{∂x} (- \frac{x}{z}) = - \frac{1 \cdot z - x z_{x}}{z^{2}} = - \frac{z - x (- \frac{x}{z})}{z^{2}},$
2: $z_{yy} = \frac{\partial (z_{y})}{∂y} = \frac{\partial}{∂y} (- \frac{y}{z}) = - \frac{1 \cdot z - y z_{y}}{z^{2}} = - \frac{z^{2} + y^{2}}{z^{3}},$
3: $z_{yx} = \frac{\partial (z_{y})}{∂x} = \frac{\partial}{∂x} (- \frac{y}{z}) = \frac{y \cdot z_{x}}{z^{2}} = \frac{y (- \frac{x}{z})}{z^{2}} .$

Ejemplo111Derivación implícita

Si $F (xz, yz) = 0$ define a $z$ como función implícita de $x$ e $y$ y además cumple con las condiciones del teorema 8 en cada punto de una región $D,$ entonces verifique que, en $D,$ se satisface la ecuación

y \cdot \frac{∂z}{∂y} + x \cdot \frac{∂z}{∂x} = - z

Solución. Sea $u = xz$ y $v = yz,$ entonces $F (xz, yz) = F (u, v) = 0 .$

\begin{array}{rcl} \frac{∂z}{\partial y} & = & - \frac{F_{y}}{F_{z}} = - \frac{F_{u} \cdot 0 + F_{v} \cdot z}{F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y} \\ \frac{∂z}{\partial x} & = & - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{F_{u} \cdot z + F_{v} \cdot 0}{F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y} \end{array}

Luego

\begin{array}{rcl} y \cdot \frac{∂z}{\partial y} + x \cdot \frac{∂z}{\partial x} & = & - y \cdot \frac{F_{v} \cdot z}{F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y} + - x \cdot \frac{F_{u} \cdot z}{F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y} \\ = & - \frac{z (F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y)}{F_{u} \cdot x + F_{v} \cdot y} \\ = & - z \end{array}

13.1 Si

x^{2} y^{2} + sen (xyz) + z^{2} = 4

define a

z

como función implícita de

x

y,

verifique que

x \frac{∂z}{∂x} - y \frac{∂z}{∂y} = 0 .

Sea $F (x, y, z) = x^{2} y^{2} + sen (xyz) + z^{2} - 4 .$ Si las derivadas parciales $z_{x}$ y $z_{y}$ existen en todo el dominio en el que $F_{z} \neq 0,$ entonces

1.: $\frac{∂z}{∂x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{2 x y^{2} + yz cos (xyz)}{xy cos (xyz) + 2 z}$
2.: $\frac{∂z}{∂y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}} = - \frac{2 x^{2} y + xz cos (xyz)}{xy cos (xyz) + 2 z}$
3.: La identidad se obtiene sustituyendo y simplificando.

13.2 Sea

z = f (z ∕ xy)

con

f

dos veces derivable. Calcule

\frac{∂z}{∂x},

\frac{∂z}{∂y}

y verifique que

x \frac{∂z}{∂x} - y \frac{∂z}{∂y} = 0 .

Sea

F = z - f (u)

con

u = z ∕ xy .

$\frac{∂z}{∂x} = - \frac{F_{x}}{F_{z}} = - \frac{- f^{'} (u) \cdot \frac{- z}{x^{2} y}}{1 - f^{'} (u) \cdot \frac{1}{xy}} = - \frac{z}{x} \cdot \frac{f^{'} (u)}{xy - f^{'} (u)} .$

$\frac{∂z}{∂y} = - \frac{F_{y}}{F_{z}} = - \frac{- f^{'} (u) \cdot \frac{- z}{x y^{2}}}{1 - f^{'} (u) \cdot \frac{1}{xy}} = - \frac{z}{y} \cdot \frac{f^{'} (u)}{xy - f^{'} (u)}$ .

$x \frac{∂z}{∂x} - y \frac{∂z}{∂y} = - x \cdot \frac{z}{x} \cdot \frac{f^{'} (u)}{xy - f^{'} (u)} - y \cdot - \frac{z}{y} \cdot \frac{f^{'} (u)}{xy - f^{'} (u)} = 0 \sqrt$

13.3 Sea

g (\frac{xy}{z}, x^{2} + y^{2}) = 0

una ecuación que define a

z

como una función de

x

y .

Verifique que si

g_{x}, g_{y}

g_{z}

existen y son continuas en toda la región en la que

g_{z} \neq 0,

entonces

y \frac{∂z}{∂x} - x \frac{∂z}{∂y} = - \frac{z (x^{2} - y^{2})}{xy}

En este caso,

F = g (\frac{xy}{z}, x^{2} + y^{2}) .

1.: $\frac{∂z}{∂x} = - \frac{g_{x}}{g_{z}} = - \frac{g_{u} \cdot \frac{y}{z} + g_{v} \cdot 2 x}{- g_{u} \cdot \frac{xy}{z^{2}}}$
2.: $\frac{∂z}{∂x} = - \frac{g_{y}}{g_{z}} = - \frac{g_{u} \cdot \frac{x}{z} + g_{v} \cdot 2 y}{- g_{u} \cdot \frac{xy}{z^{2}}}$
3.: $y \cdot \frac{g_{u} \cdot \frac{y}{z} + g_{v} \cdot 2 x}{g_{u} \cdot \frac{xy}{z^{2}}} - x \cdot \frac{g_{u} \cdot \frac{x}{z} + g_{v} \cdot 2 y}{g_{u} \cdot \frac{xy}{z^{2}}} = - \frac{g_{u} (\frac{x^{2} - y^{2}}{z})}{g_{u} \cdot \frac{xy}{z^{2}}} = - \frac{z (x^{2} - y^{2})}{xy} \sqrt$

13.4Supongamos que

g

es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Calcule

\frac{\partial^{2} z}{∂y∂x}

z = \frac{g (u, v)}{y^{2}}

con

u = y^{3}

v = x - 2

{\begin{matrix} \frac{∂z}{∂x} & = & \frac{1}{y^{2}} (\cdot \frac{∂g}{∂u} \cdot 0 + \frac{∂g}{∂v} \cdot 1) \end{matrix}

13.5 Sea

z = x ln (yz) .

Calcule

\frac{∂z}{∂x},

\frac{∂z}{∂y},

\frac{\partial 2 z}{∂x 2},

\frac{\partial 2 z}{∂y 2}

\frac{\partial 2 z}{∂x∂y} .

La primera derivada se hace derivando implícitamente; las segundas derivadas son derivadas ordinarias.

• $\frac{∂z}{∂x} = - \frac{z ln (yz)}{x - z} .$

\begin{array}{rcl} \frac{\partial 2 z}{∂x 2} = \frac{\partial}{∂x} [- \frac{z ln (yz)}{x - z}] & = & - \frac{[\frac{∂z}{∂x} \cdot ln (yz) + z \cdot \frac{y \cdot \frac{∂z}{∂x}}{yz}] (x - z) - (1 - \frac{∂z}{∂x}) \cdot z ln (yz)}{{(x - z)}^{2}} \\ = & - \frac{[- \frac{z ln (yz)}{x - z} \cdot ln (yz) + z \cdot \frac{y \cdot - \frac{z ln (yz)}{x - z}}{yz}] (x - z) - (1 + \frac{z ln (yz)}{x - z}) \cdot z ln (yz)}{{(x - z)}^{2}} \end{array}

• $\frac{∂z}{∂y} = - \frac{xz}{y (x - z)}$

\begin{array}{rcl} \frac{\partial 2 z}{∂y 2} = \frac{\partial}{∂y} [- \frac{xz}{y (x - z)}] & = & - \frac{x \cdot \frac{∂z}{∂y} \cdot y (x - z) - (x - z - y \cdot \frac{∂z}{∂y}) \cdot xz}{y^{2} {(x - z)}^{2}} \\ = & \frac{x \cdot \frac{xz}{y (x - z)} \cdot y (x - z) - (x - z - y \cdot \frac{xz}{y (x - z)}) \cdot xz}{y^{2} {(x - z)}^{2}} \end{array}

\begin{array}{rcl} \frac{\partial 2 z}{∂x∂y} = \frac{\partial}{∂x} [- \frac{xz}{y (x - z)}] & = & - \frac{(z + x \cdot \frac{∂z}{∂x}) \cdot y (x - z) - (y - y \cdot \frac{∂z}{∂x}) \cdot xz}{y^{2} {(x - z)}^{2}} \\ = & - \frac{(z + x \cdot - \frac{z ln (yz)}{x - z}) \cdot y (x - z) - (y - y \cdot - \frac{z ln (yz)}{x - z}) \cdot xz}{y^{2} {(x - z)}^{2}} \end{array}

13.6Si

f (zx, y^{2}) = xy

define a

z

como función implícita de

x

y,

calcule

z_{xy} .

13.7Si

f (zx, y^{2}) + g (z^{2}) = 5

define a

z

como función implícita de

x

y,

calcule

z_{x}

z_{y}

13.8 Sea

f

una función con derivadas de segundo orden continuas y

g

una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación

2 g (z) + f (x^{2}, y^{2}) = 0

define a

z

como funcón implícita de

x

y .

1.: Calcule $\frac{∂z}{∂x}$ y $\frac{∂z}{∂y}$

1.: Calcule $\frac{\partial^{2} z}{∂y∂x}$

13.9Repita el ejercicios anterior con la función

zx + f (x^{2}, y^{2}) = 0 .

13.10 Sea

f

una función con derivadas de segundo orden continuas y

g

una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación

g (z) f^{3} (x^{2}, y^{2}) = 0

define a

z

como funcón implícita de

x

y .

Calcule

\frac{∂z}{∂x}

\frac{∂z}{∂y}

13.11 Sean

F

una función diferenciable y

f

una función derivable. La ecuación

F (f (xy), f (z^{2})) = 0

define a

z

como una función implícita de

x

y

Calcule

\frac{∂z}{∂x}

\frac{∂z}{∂y}

Tenemos

F (u, v) = 0

con

u = f (A),

v = f (B)

A = xy

B = z^{2} .

\frac{∂z}{∂x} = - \frac{\frac{∂F}{∂x}}{\frac{∂F}{∂z}} = - \frac{\frac{∂F}{∂u} \cdot f^{'} (A) \cdot y + \frac{∂F}{∂v} \cdot f^{'} (B) \cdot 0}{\frac{∂F}{∂u} \cdot f^{'} (A) \cdot 0 + \frac{∂F}{∂v} \cdot f^{'} (B) \cdot 2 z}

$\frac{∂z}{∂y} = - \frac{\frac{∂F}{∂y}}{\frac{∂F}{∂z}} = - \frac{\frac{∂F}{∂u} \cdot f^{'} (A) \cdot x + \frac{∂F}{∂v} \cdot f^{'} (B) \cdot 0}{\frac{∂F}{∂u} \cdot f^{'} (A) \cdot 0 + \frac{∂F}{∂v} \cdot f^{'} (B) \cdot 2 z}$

13.12Sea

z

definida implícitamente por medio de la relación

z = x \cdot f (\frac{y}{z})

con

f

una función con derivada continua. Verifique que

z

satisface la ecuación:

x \frac{∂z}{∂x} + y \frac{∂z}{∂y} = z

13.13Si

f (x, y) = \frac{cos (7 x - y)}{x}

, determine una constante

K

de tal manera que se cumpla la identidad

\frac{\partial^{2} f}{∂y∂x} = 7 \cdot f (x, y) + \frac{K}{x} \cdot \frac{∂f}{∂y}

K = - 1

13.14Si

zx + e^{zy} = x

define a

z

como función implícita de

x

y,

calcule

z_{x},

z_{y}

\frac{\partial 2 z}{∂x 2}

13.15Sea

f

una función con derivadas de segundo orden continuas y

g

una función dos veces derivable. Si

y = g (z^{2}) + f (y^{2}, x^{2})

define a

z

como función implícita de

x

y,

calcule

z_{x},

z_{y}

\frac{\partial 2 z}{∂y 2} .

F (x, y, z) = y - g (u) - f (v, w)

con

u = z^{2}, v = y^{2}, w = x^{2} .

\frac{∂z}{∂x} = \frac{2 x \frac{∂f}{∂w}}{- 2 z g^{'} (u)}

$\frac{∂z}{∂y} = \frac{1 - 2 y \frac{∂f}{∂v}}{2 z g^{'} (u)}$

$\begin{matrix} \frac{\partial 2 z}{∂y 2} & = & \frac{\partial}{∂y} (\frac{∂z}{∂y}) \end{matrix}$

13.16 La ecuación de Redlich-Kwong de dos parámetros es

[P + \frac{n^{2} a}{\sqrt{T} V (V + nb)}] [V - nb] - nRT = 0

donde

a, b

son parámetros,

R

es la constante de gas y

n

el número de moles. La función

T = T (P, V)

está definida de manera implícita por esta ecuación. Calcule

\frac{∂T}{∂P} .