Calculo de integrales dobles. Integral iterada.

3. Cálculo de integrales dobles. Integral iterada.

Idea del volumen como una suma de volúmenes de “rebanadas”. Consideremos un sólido $Q$ cuya proyección ortogonal sobre el plano $XY$ es un rectángulo. Tomamos una partición del intervalo $[a, b]$ en el eje $X,$ $a = a_{0} < x_{1} < x_{2} < . . . < x_{n} = b,$ luego consideramos las rebanadas “planas” del sólido que se obtienen intersecando el sólido con cada plano $P_{k} : x = x_{k} .$ Digamos que cada rebanada tiene área $A (x_{k}) .$ Cada sección del sólido, entre los planos $P_{k - 1}$ y $P_{k},$ es aproximadamente un prisma y, su volumen aproximado es $A (x_{k}) Δ x_{k} .$ De esta manera: $Volumen de Q : V_{Q} \approx \sum_{k = 1}^{n} A (x_{k}) Δ x_{k}$

Fig. 6.12: Volumen de

Q

aproximado como una suma del volúmenes de

n

rebanadas

Ahora, tomando una partición de

[a, b]

n

subintervalos de igual tamaño. Tenemos

Volumen de Q : V_{Q} = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} A (x_{k}) Δ x_{k} = \int_{a}^{b} A (x) dx

Pero cada área $A (x_{k})$ se puede calcular en el plano $x = x_{k}$ como $A (x_{k}) = \int_{y_{k - 1}}^{y_{k}} f (x_{k}, y) dy,$ entonces tendríamos

Volumen de Q : V_{Q} = \int_{a}^{b} A (x) dx = \int_{a}^{b} (\int_{p}^{q} f (x, y) dy) dx

Integral Iterada

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Integrales iteradas. La idea anterior se puede generalizar a sólidos con una proyección ortogonal más general. Consideramos un sólido $Q$ entre las superficies (suaves) $S_{1} : z = f (x, y)$ y $S_{2} : z = g (x, y),$ como se muestra en la Figura 6.13; conforme nos desplazamos por los planos $x = x_{k},$ el área $A (x_{k})$ y el volumen $V_{Q}$ se obtienen como

A (x_{k}) = \int_{g_{1} (x_{k})}^{g_{2} (x_{k})} [f (x_{k}, y) - g (x_{k}, y)] dy y entonces V_{Q} = \int_{a}^{b} A (x) dx = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} [f (x, y) - g (x, y)] dy) dx

Fig. 6.13: Cálculo de integral iterada, en el orden

dydx

Fig. 6.14: Cálculo de integral iterada, en el orden

dxdy

De manera análoga, si nos desplazamos sobre los planos

y = y_{k},

el área

A (x_{k})

y el volumen

V_{Q}

se obtienen como

A (x_{k}) = \int_{h_{1} (y_{k})}^{h_{2} (y_{k})} [f (x, y_{k}) - g (x, y_{k})] dx y entonces V_{Q} = \int_{p}^{q} A (x) dy = \int_{p}^{q} (\int_{h_{1} (x)}^{h_{2} (x)} [f (x, y) - g (x, y)] dx) dy

Integrales iteradas

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