Integral triple.

14. Integral triple.

Consideremos un cubo

Q

como el de la figura a la derecha. Su volumen es

V_{Q} = abc .

Si la densidad

ρ

es constante en todo el cubo, la masa viene dada por

M_{Q} = ρ V_{Q}

Si la densidad no es constante y $ρ = ρ (x, y, z),$ entonces para obtener una aproximación de la masa, dividimos $Q$ en $N$ cubos $Q_{i}$ de volumen

Δ V_{i} = Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

Fig. 6.87:

Así, la densidad en el punto $P_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i})$ es

Δ M_{i} \approx ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

La masa total del cubo $Q$ sería,

M \approx \sum_{i = 1}^{N} Δ M_{i} = \sum_{i = 1}^{N} ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

Ahora, tomando el límite cuando $N \to \infty$ (si existe), obtenemos

M = lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^{N} ρ (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ x_{i} Δ y_{i} Δ z_{i} .

Esto es muy parecido a la integral de Riemann que definimos al principio de este capítulo. En realidad podemos reemplazar la malla $M_{R}$ por $M_{Q} = {Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N}}$ y definir la integral triple de Riemann de una función $f (x, y, z)$ sobre una región tridimensional $Q$ como

∭_{Q} f (x, y, z) dV = lim_{∥ M_{Q} ∥ \to 0} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i}, y_{i}, z_{i}) Δ V_{i} .

Los teoremas para integral doble se extienden de manera natural a la integral triple.

Definición 23 — Integral Triple.

Sea $Q$ un sólido limitado por dos superficies suaves de ecuación $z = f (x, y)$ ("arriba") y $z = g (x, y)$ ("abajo"), con $f, g$ con derivadas parciales continuas. Sea $R_{xy}$ su proyección sobre el plano $XY$ , limitada por funciones con derivadas continuas. Si $h (x, y, z)$ es continua sobre $Q,$ entonces

∭_{Q} h (x, y, z) dV = \iint_{R_{xy}} [\int_{g (x, y)}^{f (x, y)} h (x, y, z) d z] dA

En particular, el volumen de $Q$ es

V_{Q} = ∭_{Q} 1 \cdot dV = \iint_{R_{xy}} \int_{g (x, y)}^{f (x, y)} 1 d z dA .

Fig. 6.88:

Esta sección es opcional y usa lenguaje de análisis real; no es necesaria para resolver ejercicios, pero explica por qué el curso siempre pide derivadas continuas.

1

¿Por qué pedimos que

f

g

tengan derivadas parciales continuas?. Bueno, las derivadas parciales continuas son una condición suficiente (no necesaria) que garantiza que todo funciona sin problemas técnicos. En un curso de cálculo, esta hipótesis nos permite aplicar el teorema de Fubini sin preocuparnos por patologías.

(a)

Para garantizar que la frontera sea "suave": Si

f

g

son de clase

C^{1}

(derivadas parciales continuas), entonces las superficies

z = f (x, y)

z = g (x, y)

son superficies suaves, lo cual implica que la frontera

∂Q

tiene contenido cero en

ℝ^{3}

(ver el punto 2 para el detalle de qué significa esto).

(b)

Para garantizar la existencia de la integral iterada: La integral interior

\int_{g (x, y)}^{f (x, y)} h (x, y, z) dz

debe ser una función continua en $(x, y)$ para poder integrarla sobre $R_{xy}$ . Si $f$ y $g$ son $C^{1}$ , entonces:

i.: Los límites de integración $f (x, y)$ y $g (x, y)$ son funciones continuas.
ii.: La integral $\int_{g (x, y)}^{f (x, y)} h (x, y, z) dz$ es continua en $(x, y)$ .
iii.: Esto garantiza que la integral doble sobre $R_{xy}$ existe.

(c)

Para que la proyección

R_{xy}

sea medible Jordan: La proyección

R_{xy}

está limitada por curvas que son proyecciones de las curvas de intersección de las superficies. Si

f

g

son

C^{1}

, estas curvas son suaves y

R_{xy}

es medible Jordan.

(d)

¿Qué pasa si no pedimos derivadas continuas?

i.: Si $f$ y $g$ solo son continuas (no $C^{1}$ ), la frontera podría tener "arrugas" o comportamientos "fractales" que hagan que su contenido no sea cero.
ii.: La integral $\int_{g (x, y)}^{f (x, y)} h (x, y, z) dz$ podría no ser continua en $(x, y)$ , y la integral doble sobre $R_{xy}$ podría no estar definida.
iii.: La proyección $R_{xy}$ podría no ser medible Jordan.

2

¿Qué significa que una región sea "medible Jordan"?.

Idea intuitiva: La condición de que la frontera tenga "contenido cero" garantiza que no se pierde volumen al aproximar $Q$ por una malla de cubos, y que el límite de las sumas de Riemann es independiente de la partición elegida. Es análogo a requerir que el área bajo una curva esté bien definida aunque la curva tenga algunos "picos" o "saltos".

Para que la integral triple esté bien definida, es necesario que la región $Q$ sea medible Jordan. Esto significa que:

(a): Contenido cero de la frontera: La frontera de $Q$ tiene contenido cero en $ℝ^{3}$ . Es decir, para todo $𝜀 > 0$ , existen un número finito de paralelepípedos que cubren $∂Q$ y cuya suma de volúmenes es menor que $𝜀$ .
(b): En la práctica: Esto se cumple automáticamente si $Q$ está limitado por superficies suaves a trozos (como en la definición anterior), o más generalmente, si su frontera es un conjunto de medida cero en el sentido de Lebesgue.

3

Condiciones sobre la proyección

R_{xy}

. La proyección

R_{xy}

del sólido

Q

sobre el plano

XY

debe ser una región "regular" en el sentido de que:

(a): Está limitada por funciones con derivadas continuas (curvas suaves).
(b): Esto garantiza que $R_{xy}$ sea medible Jordan en $ℝ^{2}$ .
(c): Puede ser una región tipo I (limitada por funciones de $x$ ) o tipo II (limitada por funciones de $y$ ).

Si la proyección no fuera regular (por ejemplo, si tuviera bordes fractales), la integral doble podría no existir como integral de Riemann, y necesitaríamos recurrir a la integral de Lebesgue.

Teorema 30 — Aditividad de la integral triple.

Sea $f$ una función continua sobre un sólido $Q \subset ℝ^{3}$ . Supongamos que $Q = Q_{1} \cup Q_{2}$ , donde $Q_{1}$ y $Q_{2}$ son sólidos cuyo interior es disjunto, es decir,

int (Q_{1}) \cap int (Q_{2}) = \emptyset

(pueden compartir a lo sumo una superficie frontera común, de "volumen cero"). Entonces

∭_{Q} f (x, y, z) dV = ∭_{Q_{1}} f (x, y, z) dV + ∭_{Q_{2}} f (x, y, z) dV .

Corolario 1 (Sustracción de sólidos).

Sea $Q_{1} \subset ℝ^{3}$ un sólido y sea $Q_{2} \subset Q_{1}$ un subsólido tal que $Q_{1} = Q_{2} \cup Q$ , con $int (Q_{2}) \cap int (Q) = \emptyset$ . Si $f$ es continua sobre $Q_{1}$ , entonces

∭_{Q} f (x, y, z) dV = ∭_{Q_{1}} f (x, y, z) dV - ∭_{Q_{2}} f (x, y, z) dV,

es decir, si $Q = Q_{1} - Q_{2}$ (en el sentido de diferencia de conjuntos sólidos),

∭_{Q_{1} - Q_{2}} f dV = ∭_{Q_{1}} f dV - ∭_{Q_{2}} f dV .

En particular, si $f (x, y, z) = 1$ ,

vol (Q_{1} \cup Q_{2}) = vol (Q_{1}) + vol (Q_{2}), vol (Q_{1} - Q_{2}) = vol (Q_{1}) - vol (Q_{2}) .

Ejemplo171Cálculo de una integral triple

Considere el sólido

Q

, en el primer octante (Figura 6.89), limitado por las superficies

\begin{matrix} S_{1} : z & = & 4 \\ S_{2} : 4 z & = & x^{2} + y^{2} \\ S_{3} : y & = & 3 \\ S_{4} : y & = & 1 \\ S_{5} : x & = & 0 \end{matrix}

Fig. 6.89: Sólido

Q

1: Proyectando sobre el plano $XY$ , calcular $∭_{Q} (\frac{- 4 x}{x^{2} + y^{2} - 16}) d V$
2: Calcular $∭_{Q} 1 d V$ , es decir, el volumen de $Q$ .

Solución.

1

Proyectando sobre el plano

XY

, calcular

∭_{Q} (\frac{- 4 x}{x^{2} + y^{2} - 16}) d V

a

Región d eintegración. El sólido

Q

tiene "techo"

z = 4

y "piso"

4 z = x^{2} + y^{2}

. El resto de superficies caen perpendicularmente sobre el plano

XY

y, por lo tanto, son "paredes" y contribuyen a la región de integración

R_{xy}

La región de integración $R_{xy}$ está limitada por los segmentos de recta $y = 3,$ $y = 1,$ $x = 0$ y la proyección de la curva de intersección entre $S_{1}$ y $S_{2}$ :

z = 4 \cap 4 z = x^{2} + y^{2} ⟹ 16 = x^{2} + y^{2}

Es decir,

R_{xy} : {\begin{matrix} 1 \leq y \leq 3 \\ 0 \leq x \leq \sqrt{16 - y^{2}} \end{matrix}

b

Cálculo de la integral. En la región

R_{xy}

tomamos a "

y

" como variable independiente.

Primero observemos que

\int_{(x^{2} + y^{2}) ∕ 4}^{4} \frac{- 4 x}{x^{2} + y^{2} - 16} d z = {\frac{- 4 xz}{x^{2} + y^{2} - 16} |}_{(x^{2} + y^{2}) ∕ 4}^{4} = x

\begin{matrix} ∭_{Q} (\frac{- 4 x}{x^{2} + y^{2} - 16}) d V & = & \iint_{R_{xy}} [\int_{(x^{2} + y^{2}) ∕ 4}^{4} \frac{- 4 x}{x^{2} + y^{2} - 16} d z] d A \\ = & \int_{1}^{3} \int_{0}^{\sqrt{16 - y^{2}}} x dx dy \\ = & \frac{35}{3} \end{matrix}

2

Calcular

∭_{Q} 1 d V

, es decir, el volumen de

Q

\begin{matrix} ∭_{Q} 1 d V & = & \iint_{R_{xy}} [\int_{(x^{2} + y^{2}) ∕ 4}^{4} 1 d z] d A \\ = & \int_{1}^{3} \int_{0}^{\sqrt{16 - y^{2}}} [4 - \frac{x^{2} + y^{2}}{4}] dx dy \\ \approx & 13.4848 \end{matrix}

Ejemplo172Varias maneras de calcular sobre un sólido

Q

Considere el sólido

Q

(Figura 6.90) limitado por las superficies

\begin{matrix} S_{1} : z & = & 4 - x^{2} - y^{2} \\ S_{2} : z & = & 2 + y \\ S_{3} : z & = & 3 \end{matrix} con - 2 \leq y \leq 0

En este ejemplo vamos a plantear varias integrales triples sobre

Q

pero usando distintas maneras de "armar" la integral.

Fig. 6.90: Sólido

Q

1: Proyectando sobre el plano $XY$ , plantear con detalle $∭_{Q} (2 z) d V$
2: Plantear con detalle $∭_{Q} (2 z) d V$ usando el corolario de sustracción (Corolario 1)
3: Proyectando sobre el plano $Y Z$ , calcular $∭_{Q} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d V$
4: Calcular $∭_{Q} 1 d V$ , es decir, el volumen de $Q$ .

Solución. En cada plano de proyección debemos primero verificar entre cuáles superficies está el sólido $Q$ y, de ser necesario, expresar $Q$ como adición o sustracción de sólidos.

1

Plantear con detalle

∭_{Q} (2 z) d V

proyectando sobre el plano

XY

a

Proyectando sobre

XY

. El sólido

Q

lo podemos separar en dos sólidos

Q = Q_{1} + Q_{2}

donde

$Q_{1}$ esta limitado por $S_{1} : z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y $S_{2} : z = 2 + y$

$Q_{2}$ por $S_{2} : z = 2 + y$ y $S_{3} : z = 3 .$

Propósito: Visualizar un sólido $Q$ , las superficies que lo limitan y su proyección en el plano $XY$ , como un análisis previo antes de "armar" una integral triple sobre $Q$ .

Haga clic en el botón "Animacion" y hay un checkbox para ver la proyección.

b

Región de integración. Para obtener las ecuaciones de las curvas frontera de las regiones de integración para

Q_{1}

Q_{2},

Resolvemos las ecuaciones de intersección y despejamos en términos de

x

y

$Q_{1} : z = 2 + y \cap z = 4 - x^{2} - y^{2} ⟹ x = \pm \sqrt{2 - y^{2} - y}, con - 2 \leq y \leq 0$

$Q_{2} : z = 3 \cap z = 4 - x^{2} - y^{2} ⟹ x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}, con - 2 \leq y \leq 0$

Fig. 6.91: Proyección en

XY

Fig. 6.92: Proyección en

XY

c

Plantear Integrales.

$∭_{Q} (2 z) d V = ∭_{Q_{1}} (2 z) d V + ∭_{Q_{2}} (2 z) d V$

∙

Integrar sobre

Q_{1}

En la región $R_{1}$ vamos a tomar a " $y$ " como variable independiente. La región esta entre las curvas

$x = \pm \sqrt{2 - y^{2} - y}$ y $x = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

\begin{matrix} ∭_{Q_{1}} (2 z) d V & = & \iint_{R_{1}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] d A \\ = & \int_{- 2}^{- 1} \int_{- \sqrt{2 - y^{2} - y}}^{\sqrt{2 - y^{2} - y}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] dx dy \\ + \int_{- 1}^{0} \int_{- \sqrt{2 - y^{2} - y}}^{- \sqrt{1 - y^{2}}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] dx dy \\ + \int_{- 1}^{0} \int_{\sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{2 - y^{2} - y}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] dx dy \end{matrix}

∙

Integrar sobre

Q_{2}

\begin{matrix} ∭_{Q_{2}} (2 z) d V & = & \iint_{R_{2}} [\int_{2 + y}^{3} (2 z) d z] d A \\ = & \int_{- 1}^{0} \int_{- \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} [\int_{2 + y}^{3} (2 z) d z] dx dy \end{matrix}

2

Plantear con detalle

∭_{Q} (2 z) d V

usando el corolario de sustracción (Corolario 1).

Procedemos por "sustracción". De la Figura 6.97 podemos observar que

Q = Q_{A} - Q_{B}

donde

$Q_{A}$ es el sólido entre $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y $z = y + 2$

$Q_{B}$ entre $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ y $z = 3$

Fig. 6.93: "Sustracción"

Fig. 6.94:

Q_{A}

Fig. 6.95:

Q_{B}

\begin{matrix} ∭_{Q} (2 z) d V & = & ∭_{Q_{A}} (2 z) d V - ∭_{Q_{B}} (2 z) d V \\ = & \int_{- 2}^{0} \int_{- \sqrt{2 - y^{2} - y}}^{\sqrt{2 - y^{2} - y}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] dx dy \\ - & \int_{- 1}^{1} \int_{- \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} [\int_{3}^{4 - x^{2} - y^{2}} (2 z) d z] dx dy \end{matrix}

3

Proyectando sobre el plano

Y Z

, calcular

∭_{Q} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d V

En el plano $Y Z$ el sólido está entre dos "ramas" del paraboloide: $x = \pm \sqrt{4 - z - y^{2}}$

Fig. 6.96: Proyección

Y Z

Fig. 6.97: Proyección

Y Z

Para el cálculo de esta integral primero veamos que

\int_{- \sqrt{4 - z - y^{2}}}^{\sqrt{4 - z - y^{2}}} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d x = - 2 y^{2} - 2 z + 8

Ahora,

\begin{matrix} ∭_{Q} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d V & = & \iint_{R_{1}} [\int_{- \sqrt{4 - z - y^{2}}}^{\sqrt{4 - z - y^{2}}} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d x] d A \\ + & \iint_{R_{2}} [\int_{- \sqrt{4 - z - y^{2}}}^{\sqrt{4 - z - y^{2}}} (x + 1) \sqrt{- y^{2} - z + 4} d x] d A \\ = & \int_{- 2}^{- 1} \int_{2 + y}^{4 - y^{2}} (- 2 y^{2} - 2 z + 8) dz dy \\ + & \int_{- 1}^{0} \int_{2 + y}^{3} (- 2 y^{2} - 2 z + 8) dz dy \end{matrix}

4

Volumen de

Q

∭_{Q} 1 d V

Calculamos por sustracción (Figura 6.97)

Observe que $\int_{3}^{4 - x^{2} - y^{2}} 1 d z = 1 - x^{2} - y^{2}$ y que $\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} 1 d z = - x^{2} - y^{2} - y + 2$

\begin{matrix} ∭_{Q} 1 d V & = & \int_{- 2}^{0} \int_{- \sqrt{2 - y^{2} - y}}^{\sqrt{2 - y^{2} - y}} [\int_{2 + y}^{4 - x^{2} - y^{2}} 1 d z] dx dy \\ - & \int_{- 1}^{0} \int_{- \sqrt{1 - y^{2}}}^{\sqrt{1 - y^{2}}} [\int_{3}^{4 - x^{2} - y^{2}} 1 d z] dx dy \\ \approx & 5.31779 \end{matrix}

Ejemplo173Cálculo de integrales triples

Calcular, usando el orden “ $dx dz dy$ ”, $I = ∭_{Q} 2 x cos (y + z) dV$ con $Q$ el sólido limitado por las superficies (Figura 6.98) $y + z = π, y = \sqrt{x}, x = z = 0$

Fig. 6.98: Sólido

Q

Fig. 6.99: Proyección en

Y Z

Solución. Por el orden de integración que se pide, debemos proyectar sobre el plano

Y Z .

El sólido $Q$ está entre las superficies $x = 0$ y $x = y^{2} .$

\begin{matrix} ∭_{Q} 2 x cos (y + z) dV & = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} [\int_{0}^{y^{2}} 2 x cos (y + z) d x] dz dy \\ = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} {x^{2} cos (y + z) |}_{0}^{y^{2}} dz dy \\ = & \int_{0}^{π} \int_{0}^{π - y} y^{4} cos (y + z) dz dy \\ = & \int_{0}^{π} {y^{4} sen (y + z) |}_{0}^{π - y} dy = \int_{0}^{π} - y^{4} sen (y) dy = - 48 + 12 π^{2} - π^{4} \end{matrix}

Usamos

\int y^{4} sen y dy = - (24 - 12 y^{2} + y^{4}) cos y + 4 y (- 6 + y^{2}) sin y + K,

que se calcula “por partes”.

Ejemplo174Cálculo de integrales triples

Considere el sólido

Q

limitado por

z = 0,

y + 2 z = 2,

x = 0

y = 1 - x^{2}

tal y como se muestra en la Figura 6.100. Usando integral triple, Plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de

Q

proyectando en cada uno de los planos

XY

Y Z

XZ

Fig. 6.100:

Solución.

1

Proyectando sobre

XY

. La región de integración

R_{xy}

está entre las curvas

y = 1 - x^{2}

y = 2 - 2 x^{2}

y en esta región el sólido está entre

z = 0

z = 1 - y ∕ 2 .

Fig. 6.101:

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 x^{2}} [\int_{0}^{1 - y ∕ 2} 1 d z] dy d x

2

Proyectando sobre

Y Z

. La región de integración es

R_{yz} = R_{1} + R_{2} .

La región

R_{1}

está entre las rectas

z = 0

z = 1 - y ∕ 2

y el sólido está entre

x = \sqrt{1 - y}

x = \sqrt{1 - y ∕ 2} .

La región

R_{2}

está entre las rectas

z = 0

z = 1 - y ∕ 2

y en esta región el sólido está entre

x = 0

x = \sqrt{1 - y ∕ 2} .

Fig. 6.102:

V_{Q}

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - y ∕ 2} [\int_{\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y ∕ 2}} 1 d x] dz d y

\int_{1}^{2} \int_{0}^{1 - y ∕ 2} [\int_{0}^{\sqrt{1 - y ∕ 2}} 1 d x] dz d y

3

Proyectando sobre

XZ

R_{xz} = R_{1} + R_{2} .

La curva

C_{1}

que divide ambas regiones es la curva de intersección entre

y = 2 - 2 z

y = 2 - 2 x^{2} .

Igualdando obtenemos

C : z = x^{2} .

La curva

C_{2}

se obtiene como la intersección de

y = 1 - x^{2}

y = 2 - 2 z .

Entonces

C_{2} : z = (1 + x^{2}) ∕ 2 .

Fig. 6.103:

V_{Q}

\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} [\int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 x^{2}} 1 d y] dz d x

\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\frac{1}{2} (1 + x^{2})} [\int_{1 - x^{2}}^{2 - 2 z} 1 d y] dz d x

Ejemplo175Cálculo de integrales triples

Calcular $∭_{Q} x cos (y + z) d V$ con $Q$ el sólido limitado por $y + z = π, y = x, x = z = 0$

Fig. 6.104: Sólido

Q

y sus proyección en el plano

XY

Solución. El sólido $Q$ está entre las superficies $z = 0$ y $z = π - y .$

\begin{matrix} ∭_{Q} x cos (y + z) dV & = & \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} [\int_{0}^{π - y} x cos (y + z) d z] dy dx \\ = & \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} {x sen (y + z) |}_{0}^{π - y} dy dx \\ = & \int_{0}^{π} \int_{x}^{π} - x sen (y) dy dx = 2 - \frac{π^{2}}{2} \end{matrix}

Usamos

\int x cos x dx = cos x + x sen x + K

(se calcula “por partes”).

Ejemplo176Cálculo de integrales triples

Considere el sólido

Q

limitado por

z = 4 - x^{2},

y + z = 6,

y = x,

y = 5,

z = 0

x = 0

(Figura 6.105).
Usando integrales triples, plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de

Q

proyectando en cada uno de los planos

XY

Y Z

XZ

Fig. 6.105: Sólido

Q

Solución.

1

Proyectando sobre el plano

XY

La región de integración es $R_{xy} = R_{1} + R_{2} + R_{3} .$ La curva $C$ divide las regiones $R_{1}$ y $R_{2}$ y la recta $x = \sqrt{3}$ divide la región $R_{1}$ y la región $R_{3} .$

La curva $C$ es la proyección de la curva de intersección entre las superficies $z + y = 6$ y $z = 4 - x^{2},$ es decir, $C : y = 2 + x^{2} .$

La región $R_{1}$ está entre $y = x$ y $y = 2 + x^{2},$ la región $R_{2}$ está entre $y = 2 + x^{2}$ y $y = 5$ y la región $R_{3}$ está entre $y = x$ y $y = 5 .$

\begin{matrix} V_{Q} & = & \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{x}^{2 + x^{2}} [\int_{0}^{4 - x^{2}} 1 d z] dy d x \\ + & \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{2 + x^{2}}^{5} [\int_{0}^{6 - y} 1 d z] dy d x \\ + & \int_{\sqrt{3}}^{2} \int_{x}^{5} [\int_{0}^{4 - x^{2}} 1 d z] dy d x \end{matrix}

......

Fig. 6.106:

2

Proyectando sobre el plano

Y Z .

La curva $C$ es la proyección de la curva de intersección entre las superficies $y = x$ y $z = 4 - x^{2},$ es decir, $C : z = 4 - y^{2} .$

Fig. 6.107:

\begin{matrix} V_{Q} & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - y^{2}} [\int_{0}^{y} 1 d x] dz d y \\ + & \int_{0}^{2} \int_{4 - y^{2}}^{4} [\int_{0}^{\sqrt{4 - z}} 1 d x] dz d y \\ + & \int_{2}^{5} \int_{0}^{6 - y} [\int_{0}^{\sqrt{4 - z}} 1 d x] dz d y \end{matrix}

3

Proyectando sobre el plano

XZ

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - z}} [\int_{x}^{5} 1 d y] dx d z + \int_{1}^{4} \int_{0}^{\sqrt{4 - z}} [\int_{x}^{6 - z} 1 dy] dx d z = \frac{68}{3} - \frac{12 \sqrt{3}}{5}

Fig. 6.108:

15.1 Considere el sólido

Q

limitado por las superficies

S_{1} : y^{2} = - 2 (z - 8)

S_{2} : x + y = 4,

S_{3} : x = 3

, y

S_{4} : x = 0

, en el primer octante. Usando integrales triples calcule el volumen de

Q

de tres maneras diferentes, proyectando sobre los planos

XY

XZ

Y Z

1.: Proyección $XY$

$\begin{matrix} V_{Q} = ∭_{Q} 1 d V & = & \iint_{R_{xy}} \int_{0}^{8 - y^{2} ∕ 2} 1 d z d A \\ = & \int_{0}^{3} \int_{0}^{4 - x} [8 - \frac{y^{2}}{2}] dy dx = \frac{395}{8} \end{matrix}$
2.: Proyección $XZ$ . Se omite
3.: Proyección $Y Z$ . Se omite

15.2 Proeyectando sobre el plano

XZ

, calcular el volumen

∭_{Q} 1 d V

de los sólidos que siguen a continuación,

a.)

Fig. 6.109:

b.)

Fig. 6.110:

Se omite.

15.3

Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen del sólido

Q

si este sólido está limitado por

x^{2} + y^{2} = 4;

z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0

z = 0,

en el I octante

Fig. 6.111:

El cálculo es fácil proyectando sobre $XY$ o $Y Z .$

Proyección sobre

Y Z .

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 - y} [\int_{0}^{\sqrt{4 - y^{2}}} dx] dz dy

Fig. 6.112:

Proyección sobre

XY

V_{Q} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - y^{2}}} [\int_{0}^{2 - y} dz] dx dy

Fig. 6.113:

15.4

Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen del sólido

Q

si este sólido está limitado por las superficies

y = 1 - x^{2};

y = 2 - 2 x^{2}; y + 2 z = 2; x = 0,

en el I octante.

Fig. 6.114:

Se omite

15.5

Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen sólido

Q

si este sólido está limitado por la superficie

y^{2} + z^{2} = 4

y los planos

2 x - 2 y + z = 2;

x = 0

z = 0 .

Fig. 6.115:

Proyectamos sobre

Y Z

\begin{matrix} V_{Q} & = & \int_{- 1}^{0} \int_{0}^{2 + 2 y} [\int_{0}^{1 - z ∕ 2 + y} dx] dz dy \\ + & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - y^{2}}} [\int_{0}^{1 - z ∕ 2 + y} dx] dz dy \end{matrix}

Fig. 6.116: