Medidas de Probabilidad

4. Medidas de Probabilidad

Los siguientes resultados son sumamente importantes al tratar de formalizar lo que entenderemos por probabilidades. De alguna forma podríamos prescindir de algunas de estas definiciones y a pesar de ello aprender a resolver problemas que tienen que ver con la probabilidad, pero hemos decidido hacer esta sección suficientemente completa, pues muchos de los estudiantes a los cuales están dirigidas estas notas aprecian el formalismo como una excelente alternativa para luchar contra la imprecisión que puede venir del exceso de informalidad.

4.1 Espacios Muestrales Discretos

Las siguientes definiciones constituyen un punto de partida importante para iniciar el estudio de la materia que nos interesa. De hecho constituyen caracterizaciones operacionales de los tipos de probabilidad discutidos, en la sección introductoria.

Definición 11.

Si un experimento aleatorio es repetido una cantidad grande de veces, $n$ , en las cuales ocurre $N_{E}$ veces el evento E entonces la frecuencia relativa de ocurrencias del evento E entre el número de repeticiones, es decir $n_{E} / n,$ tenderá a estabilizarse a un valor constante denotado por $P [E],$ el cual se llamará la probabilidad de $E$ .

Definición 12.

Si un experimento aleatorio puede tener $n$ resultados que pueden ocurrir igualmente y que son mutuamente excluyentes, entonces si $n_{E}$ es el número de resultados que cumplen un predicado que caracteriza a un evento $E$ entonces la probabilidad de $E$ es la razón $n_{E} / n$

Ejemplo 1.

Se lanza un par de dados que no están cargados y se registra la suma de las caras. Determine la probabilidad del evento $T :$ la suma de los números en ambas caras es 6.

Solución

En este caso, por (1.1) hay 36 posibles resultados de los cuales $(3, 3)$ , $(1, 5)$ , $(5, 1)$ , $(2, 4)$ y $(4, 2)$ suman 6 ası´:

P [T] = \frac{5}{36} .

Ejemplo 2.

En una caja hay 4 libros de Inglés y 3 de Ruso. Se escoge al azar un libro de la caja. >Cuál es la probabilidad de que el libro escogido sea de Ruso?

Solución

Sea $R$ el evento se escoge un libro de Ruso. Hay 3 casos en los cuales al escoger el libro resulta ser de Ruso y un total de 7 escogencias por lo tanto:

P [R] = \frac{3}{7} .

Ejemplo 3.

Tres palomas indistinguibles vuelan hacia dos nidos. Se ubican de manera absolutamente aleatoria, es decir cualquier combinación de palomas en el primer y segundo nido puede ocurrir. Determine la probabilidad de que le segundo nido no quede vacío.

Solución

El espacio muestral de los posibles resultados esta formado por los pares $(x, y)$ donde $x$ es el total de palomas en el nido 1 y $y$ el total de palomas en el nido 2, $Ω = {(3, 0) (2, 1) (1, 2) (0, 3)}$ . Como el total de resultados que cumplen en predicado es 3 entonces la probabilidad del evento es $3 / 4$

4.2 Funciones de Probabilidad

Las definiciones (11) y (12), caracterizan la probabilidad de un evento en términos de la frecuencia relativa

La primera permite la asignación de una medida de probabilidad a un evento mediante la experimentación. La segunda es mucho más clara y en el sentido operacional aceptable, pero requieren que el espacio muestral sea finito.

Por otro lado las afirmaciones de que “los resultados pueden ocurrir igualmente, y son mutuamente excluyentes,” difícilmente pueden ser demostradas, y es usual que no se cumplan.

Esa no es una limitación importante pues esta última definición puede generalizarse para que permita caracterizar cualquier probabilidad. No obstante se hace necesario establecer algunas condiciones a la colección de todos los eventos del espacio muestral. De eso nos ocuparemos ahora.

Dado un espacio muestral $Ω,$ se asume que la familia $F$ de todos los eventos cumple las siguientes propiedades:

Sigma Álgebra.

Se tiene que $\emptyset \in F$ y $Ω \in F.$
Si $A \in F,$ entonces $\bar{A} \in F.$
Si $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ son elementos de $F$ , también lo es $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i} .$

Cualquier conjunto que cumpla con las propiedades anteriores se llama sigma álgebra ( $σ -$ álgebra).

Con estas propiedades se puede demostrar con alguna facilidad los siguientes hechos, referimos al lector interesado a [2]:

Si los eventos $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ son elementos de $F$ , también lo es $⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}$ .
La unión finita de eventos de $F$ está en $F.$
Si $A$ y $B$ están es $F$ también lo está $A ∖ B.$

Función de Probabilidad

P

. Una función de probabilidad definida sobre la

σ -

álgebra de todos los eventos de un espacio muestral

Ω

, debe cumplir las siguientes propiedades:

$0 \leq P [A]$ para todo evento $A.$
$P [Ω] = 1 .$
Si $A$ y $B$ son eventos mutuamente excluyentes entonces
$P [A \cup B] = P [A] + P [B] .$
Si los eventos $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots$ son eventos mutuamente excluyentes ( $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset, \forall i \neq j$ ), entonces
$P [⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}] = ∑_{n = 1}^{\infty} P [A_{n}] .$

El concepto de medida de probabilidad o función de probabilidad juega un rol básico al momento de estudiar las probabilidades, de hecho cuando tenemos un experimento aleatorio y queremos estudiarlo probabilísticamente lo que necesitamos es definir una de tales medidas. Buena parte de lo que haremos en secciones posteriores es definir medidas de probabilidad sobre espacios muestrales.

En las siguientes páginas discutiremos los principios básicos de la probabilidad.

4.3 Reglas para el Cálculo de Probabilidades

Cuando en un experimento aleatorio se conocen las probabilidades de los eventos simples, es decir las probabilidades de cada uno de los elementos de espacio muestral, se puede calcular las probabilidades de eventos compuestos y de algunos eventos relacionados utilizando una serie de reglas básicas.

El cálculo de probabilidades se basa principalmente en la aplicación de estas reglas básicas. El siguiente teorema, [2], define una serie de propiedades que cumple una medida de probabilidad.

Teorema 1 (Reglas básicas).

Si $P$ es una medida de probabilidad definida sobre una familia de eventos $F$ sobre un espacio muestral $Ω$ . Entonces

1.: $P [\emptyset] = 0 .$
2.: $P [A] = 1 - P [\bar{A}] .$
3.: Para cualesquiera eventos $A, B P [A \cup B] = P [A] + P [B] - P [A \cap B]$ .
4.: Para cualesquiera eventos $A, B.$ Si $A \subset B$ implica $P [A] < P [B] .$

Demostración y discusión de algunos casos.

1.

Esta propiedad se obtiene en forma inmediata pues si

P [\emptyset] = r > 0

se tiene que

P [Ω] = P [Ω \cup \emptyset] = P [Ω] + P [\emptyset] = 1 + r > 1,

lo cual contradice la propiedad 2 del axioma 4.2. En otras palabras $P [\emptyset] = 0 .$

2.

Esta propiedad también se obtiene en forma sencilla de:

1 = P [Ω] = P [A \cup \bar{A}] = P [A] + P [\bar{A}] .

Recuerde que si $A$ es un evento sobre un espacio muestral $Ω$ entonces el evento no ocurre $A$ se denota por $\bar{A} .$

3.

Esta propiedad se demuestra usando un poco de teoría de conjuntos. Lo primero es notar que

A \cup B

es una unión de eventos excluyentes:

A \cup B = (A \cap B) \cup (\bar{A} \cap B) \cup (A \cap \bar{B}),

por lo tanto,

P [A \cup B] = P [(A \cap B)] + P [(\bar{A} \cap B)] + P [(A \cap \bar{B})],

(1.2)

por otro lado los eventos $A \cap \bar{B}$ y $A \cap B$ son excluyentes y su unión es $A$ , ası´:

P [A] = P [(A \cap B)] + P [(A \cap \bar{B})],

(1.3)

similarmente:

P [B] = P [(A \cap B)] + P [(\bar{A} \cap B)],

(1.4)

sumando término a término (1.3) y (1.4) se obtiene:

P [A] + [P [B] = 2 P [(A \cap B)] + P [(A \cap \bar{B})] + P [(\bar{A} \cap B)] .

(1.5)

Restando (1.5) y (1.2) se obtiene el resultado.

4.

Esta propiedad se deja como ejercicio para el lector.

4.4 Regla de Producto

El evento que indica la ocurrencia conjunta de los eventos $A$ y $B$ se denota por $A \cap B.$ Informalmente dos eventos se dicen independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye ni se ve influida por la ocurrencia del otro.

Definición 13 (Regla del Producto).

Si $A$ y $B$ son eventos independientes entonces se cumple

P [(A \cap B)] = P [A] P [B] .

Por inducción se puede demostrar que si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ son eventos independientes con probabilidades $P [A_{1}], P [A_{2}],$ $\dots, P [A_{n}]$ respectivamente, entonces la probabilidad de la ocurrencia del evento compuesto $A_{1}$ y $A_{2}$ y $\dots$ y $A_{n}$ , es decir todos los eventos, cumple:

P [A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}] = P [A_{1}] P [A_{2}] \dots P [A_{n}] .

(1.6)

Es frecuente que se confunda el concepto de independencia con la idea de exclusión mutua o intersección vacía. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la probabilidad de ocurrencia del otro, mientras que dos eventos son excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos excluye la ocurrencia del otro.

Con un ejemplo podemos ayudarnos. En una urna hay 7 bolillas, tres rojas y cuatro negras. Se extraen una después de la otra dos bolillas. Sea $A$ el evento la primera bolilla es roja y $B$ el evento la segunda bolilla es negra. Si el procedimiento es sacar la bolilla, ver el color y devolverla a la urna entonces la ocurrencia o no ocurrencia del evento $A$ deja exactamente igual la probabilidad del evento $B$ , en este caso decimos que son independientes. No obstante si el procedimiento es extraer la primera bolilla y no devolverla a la urna entonces la probabilidad del evento $B$ depende de lo que pasó con el evento $A$ y los eventos no son independientes.

Para el primer caso la probabilidad del evento ’La primera bolilla es roja y la segunda es negra’ es

P [A \cap B] = P [A] P [B] = \frac{3}{7} \frac{4}{7}

mientras esa probabilidad para el segundo caso es

P [A \cap B] = \frac{3}{7} \frac{4}{6}

Ejemplo 4.

Suponga que una máquina fabrica un tipo específico de componente, y que la probabilidad de que un componente salga defectuoso es constante $p$ e independiente de los resultados en los componentes tanto anteriores como posteriores.

Estime la probabilidad de que el primer componente defectuoso salga inmediatamente después de los primeros $N$ componentes.
Cuántos componentes deben producirse para tener una probabilidad del 90% de obtener al menos un componente defectuoso.

Solución

Sea $D_{i}$ el componente $i$ es defectuoso y ${\bar{D}}_{i}$ el complemento de $D_{i}$ . La probabilidad pedida es:

P [(\bar{D_{1}} \cap \bar{D_{2}} \cap \dots \cap \bar{D_{N}}) \cap D_{N + 1}] = {(1 - p)}^{N} p.

La probabilidad de ningún componente defectuoso en los primeros $k$ componentes es ${(1 - p)}^{k}$ entonces la probabilidad de al menos un componente defectuoso es $1 - {(1 - p)}^{k}$ . El valor $k$ buscado debe cumplir con
$\begin{array}{rcl} 1 - {(1 - p)}^{k} & > & 0.9 \\ {(1 - p)}^{k} & < & 0.1 \\ k & > & \frac{ln 0.1}{ln (1 - p)} . \end{array}$
Por ejemplo si la probabilidad de que un componente sea defectuoso es de $0.02$ deberían producirse alrededor de 114 componentes para tener una probabilidad del 90% de que haya al menos uno defectuoso.

4.5 Probabilidad Condicional

Cuando los eventos no son independientes y ocurren en forma sucesiva la ocurrencia de uno de ellos puede influir en la del otro. Este tipo de probabilidad se llama probabilidad condicional

Por ejemplo hay tres cajas $c_{1}, c_{2}$ y $c_{3}$ tales que la caja $c_{1}$ contiene 2 esferas azules y 2 rojas, la caja $c_{2}$ contiene 3 esferas azules y 1 roja y la caja $c_{3}$ contiene 2 esferas azules y 3 rojas. Si se va a

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