La Hiperbola.

6. La Hipérbola.

Definición 3 (La hipérbola como lugar geométrico).

En un plano, una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos $Q$ tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, $F_{1}$ y $F_{2},$ (llamados focos), es constante (una constante menor que $d (F_{1}, F_{2})$ ). Si la diferencia es la constante $2 a,$ con $2 a < d (F_{1}, F_{2}),$ entonces $| d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) | = 2 a$

Hipérbola: Lugar geométrico

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Propiedad focal de la hipérbola. La hipérbola también tiene una “propiedad focal” análoga a la de la elipse y la parábola: La normal a la hipérbola en cualquier punto $Q$ de la hipérbola, forma ángulos iguales con el segmento $F_{1} Q$ y el segmentos $F_{2}, Q$

Propiedad focal de la Hipérbola

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Aplicación. La propiedad focal de la hipérbola tiene varias aplicaciones en telescopios, estructuras y arquitectura, torres de refrigeración, techos, engranajes, etc.

Hipérbola: Ejes, centro y vértices. Supongamos que los focos de la hipérbola son

F_{1}

F_{2} .

Además,

| d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) | = 2 a

con

2 a < d (F_{1}, F_{2}) .

La recta que pasa por los focos se llama eje focal. Este eje focal corta a la hipérbola en dos puntos

V_{1},

V_{2}

llamados vértices. El segmento de recta que une los vértices se llama eje transversal o transverso. El punto medio de este eje se llama centro de la hipérbola.
De la definición de la hipérbola se puede deducir que la distancia entre los vértices es

2 a

y cada vértice está a una distancia de

a

unidades del centro.

Figura 1.21:

Si la distancia del centro a cada uno de los focos es

c,

como

c > a,

podemos formar el triángulo isósceles

△ V_{1} V_{2} A

que se muestra en la figura de la derecha. La altura de este triángulo la denotamos con

b .

El eje conjugado es el segmento

A A^{'}

(en la figura de la derecha) y mide

2 b .

Este segmento pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Claramente, este el semieje conjugado tiene longitud

b

y, por pitágoras,

c^{2} = a^{2} + b^{2} .

Figura 1.22:

Ecuación canónica de la hipérbola

En coordenadas rectangulares, una hipérbola tiene ecuación general

A x^{2} + Bxy + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0 con B^{2} - 4 AC > 0 y Δ \neq 0

Si una hipérbola tiene ecuación $A x^{2} + C y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ entonces no presenta rotación pues $B = 0$ . En este caso decimos que la hipérbola está en posición estándar: Su eje focal es paralelo al eje $X$ o al eje $Y$ (Figura 1.23)

Figura 1.23: Hipérbolas en posición estándar

Si una hipérbola esta en posición estándar entonces podemos obtener una ecuación canónica o "natural". Esta ecuación importa porque viene con la información relevante de la elipse focos, vértices, etc.

Tenemos dos casos:

1

Si el eje focal es paralelo al eje

X

, entonces, como

a

es la longitud del semieje transversal y

b

la longitud del semieje conjugado, la ecuación canónica es

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 y las asíntotas son y = k \pm \frac{b}{a} (x - h)

2

Si el eje focal es paralelo al eje

Y

, entonces, como

a

es la longitud del semieje transversal y la longitud del semieje conjugado, la ecuación canónica es

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 y las asíntotas son y = k \pm \frac{a}{b} (x - h)

Parábolas y ecuación canónica

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Hipérbola en posición estándar: Eje focal paralelo al eje

X .

En este caso, si el centro es

(h, k),

entonces

F_{1} = (h + c, k)

F_{2} = (h - c, k) .

Los puntos

Q = (x, y)

de la hipérbola satisfacen

| d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) | = 2 a,

es decir,

| \sqrt{{(x - h + c)}^{2} + {(y - k)}^{2}} - \sqrt{{(x - h - c)}^{2} + {(y - k)}^{2}} | = 2 a

Para simplificar un poco el cálculo, supongamos que $d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) > 0$ (el otro caso es es totalmente similar), entonces

\begin{array}{rcl} {(\sqrt{{(x - h + c)}^{2} + {(y - k)}^{2}})}^{2} & = & {(2 a - \sqrt{{(x - h - c)}^{2} + {(y - k)}^{2}})}^{2}, \\ c (x - h) - a^{2} & = & a \sqrt{{(x - h - c)}^{2} + {(y - k)}^{2},} \\ elevamos al cuadrado, \\ (c^{2} - a^{2}) {(x - h)}^{2} - a^{2} {(y - k)}^{2} & = & a^{2} (c^{2} - a^{2}), \\ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{c^{2} - a^{2}} & = & 1 . \end{array}

Poniendo $b^{2} = c^{2} - a^{2},$ la ecuación simplificada sería $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1;$ esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, $c$ , focos y vértices.

Hipérbola en posición estándar: Eje focal paralela al eje

Y .

En este caso, si el centro es

(h, k),

entonces

F_{1} = (h, k - c)

F_{2} = (h, k + c) .

Los puntos

Q = (x, y)

de la hipérbola satisfacen

| d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) | = 2 a,

es decir,

| \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k + c)}^{2}} - \sqrt{{(x - h)}^{2} + {(y - k - c)}^{2}} | = 2 a .

Como antes, la ecuación simplificada queda

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 .

A esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, $c$ , focos y vértices.

Asíntotas de la hipérbola. Consideremos las ecuaciones canónicas de la hipérbola. Para determinar las asíntotas oblicuas de la hipérbola se necesita despejar $y$ en ambas ecuaciones y analizar el comportamiento "asíntotico de la función" para $x$ suficientemente grande. Informalmente,

\begin{array}{rcl} \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 & ⟹ & y = k \pm \frac{a}{b} \sqrt{{(x - h)}^{2} + b^{2}} ⟹ y ∽ k \pm \frac{a}{b} (x - h) si x \to \pm \infty \\ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 & ⟹ & y = k \pm \frac{b}{a} \sqrt{{(x - h)}^{2} - a^{2}} ⟹ y ∽ k \pm \frac{b}{a} (x - h) si x \to \pm \infty \end{array}

Aplicando la regla de L’Hôpital se verifica que

\begin{array}{rcl} \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 & ⟹ & lim_{x \to \pm \infty} y - (k \pm \frac{a}{b} (x - h)) = 0, \\ \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 & ⟹ & lim_{x \to \pm \infty} y - (k \pm \frac{b}{a} (x - h)) = 0 . \end{array}

Hipérbolas.

Propósito: Explorar la hipérbola como lugar geométrico y relacionar su ecuación canónica con el centro, los focos, los vértices, el semieje transverso, el semieje conjugado y las asíntotas. El widget permite visualizar cómo cambian los parámetros $a$ , $b$ y $c$ al modificar dinámicamente los puntos notables.

1

Arrastre el centro

C

y observe cómo se traslada toda la hipérbola. Identifique en la ecuación canónica los valores de

h

k

2

Arrastre el vértice

A

para cambiar el semieje transverso

a

. Observe cómo se modifica la separación entre los vértices.

3

Arrastre el foco

F_{1}

para cambiar la distancia focal

c

. Verifique que se mantiene la relación

c^{2} = a^{2} + b^{2} .

4

Cambie el eje focal entre eje paralelo al eje

X

y eje paralelo al eje

Y

. Compare las formas canónicas

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 .

5

Active la opción Detalles y observe el rectángulo auxiliar y las asíntotas. Explique cómo las ramas de la hipérbola se acercan a las asíntotas sin cortarlas.

6

Modifique

a

c

para obtener hipérbolas más abiertas o más cerradas. Observe cómo cambia

b

y cómo se modifican las pendientes de las asíntotas.

Ecuación Canónica de la Elipse

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Ejemplo10Análisis Analítico y Gráfico

Identifique y trace la gráfica de la cónica de ecuación $4 y^{2} - 9 x^{2} + 36 x - 24 y - 36 = 0,$ indicando centro, vértices, focos, asíntotas e intersección con los ejes.

Solución.

1

Completando cuadrados obtenemos

4 {(y - 3)}^{2} - 9 {(x - 2)}^{2} = 36

por lo que la ecuación canónica es

\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1

2

Se trata de un hipérbola con eje transversal vertical y centro en

(2, 3) .

3

Como

a = 3

b = 2

entonces

c = \sqrt{13} .

Los vértices son

v_{1} = (2, 0)

v_{2} = (2, 6)

y los focos son

F_{1} = (2, 3 - \sqrt{13})

F_{2} = (2, 3 + \sqrt{13}) .

4

Las intersecciones con los ejes:

y \approx - 1.24,

y \approx 7.24

x = 2 .

5

Las asíntotas se pueden trazar como las diagonales de la "caja" que se forma con el eje traverso y el eje conjugado.

Figura 1.24:

El siguiente widget es un tutor de práctica: Generamos la ecuación general de una hipérbola (sin rotación) y, con nuestras destrezas algebraicas, reducimos esa ecuación a la ecuación canónica. El widget nos va ayudando paso a paso en el proceso de obtener la ecuación canónica y las características principales de la hipérbola. El procedimiento es sencillo: hacemos nuestro cálculo en papel y comparamos con el respectivo paso que nos ofrece el widget .

Hipérbola: Práctica guiada

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Ejemplo11Determinación de la Ecuación Canónica

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en $(3, - 5)$ y $(3, 1)$ y asíntotas $y = 2 x - 8$ y $y = - 2 x + 4 .$ Además calcule los focos y realice la gráfica.

Solución.

1

Como los vértices son

(3, - 5)

(3, 1),

el centro es

(3, - 2)

. Por tanto la hipérbola tiene eje transversal vertical y

a = 3

2

Por tanto, la ecuación canónica es

\frac{{(y + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{\frac{9}{4}} = 1

3

Asíntotas

m_{1} = 2 = \frac{a}{b} ⟹ b = \frac{a}{2} ⟹ b = \frac{3}{2}

4

El valor de

c

está dado por

c^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ c^{2} = \frac{45}{4} ⟹ c = \frac{3 \sqrt{5}}{2}

5

Los focos están en

(3, - 2 - \frac{3 \sqrt{5}}{2})

(3, - 2 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}) .

6

Las intersecciones con el eje

Y

son

y \approx - 8.70,

y \approx 4.70 .

7.1Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0 .

Realizar la gráfica.

Completando el cuadrado en ambas variables,

\begin{matrix} 9 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) - (y^{2} + 6 y + 9 - 9) + 18 & = & 0 \\ 9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} & = & 9 \\ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} & = & 1 \end{matrix}

Por tanto, el centro está en $(2, - 3)$ , $a = 1, b = 3$ y $c^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ c^{2} = 10 ⟹ c = \sqrt{10}$

Los vértices están en $(1, - 3), (3, - 3)$ , los focos en $(2 \pm \sqrt{10}, - 3)$ y las asíntotas son $y = \pm 3 (x - 2) - 3 .$ Las intersecciones con los ejes son $y \approx - 8.19,$ $y \approx 2.196,$ $x \approx 0.58$ y $x \approx 3.41 .$

7.2 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de las hipérbolas de ecuación

1: $36 x^{2} - 64 y^{2} = 2304$
La ecuación canónica es $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1 .$
Como $c = 10,$ los focos son $(\pm 10, 0)$ y los vértices son $(\pm 8, 0) .$ La ecuación de las asíntotas es $3 x - 4 y = 0$ y $3 x + 4 y = 0 .$
2: $x^{2} - 2 x - y^{2} - 6 y + 9 = 0$
La ecuación canónica es ${(x - 1)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 1$

El o la estudiante debe completar la respuesta.
3: $- \frac{9}{5} + 2 x + x^{2} - \frac{6 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$
La ecuación canónica es ${(x + 1)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{5} = 1$

El o la estudiante debe completar la respuesta.
4: $\frac{4 x^{2}}{3} - \frac{16 x}{3} - \frac{y^{2}}{5} + 2 y - \frac{2}{3} = 0$
La ecuación canónica es $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3 ∕ 4} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

El o la estudiante debe completar la respuesta.

7.3 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con focos en

(1, 4)

(1, - 4)

y con

a = 3 .

La ecuación canónica es

\frac{y^{2}}{9} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{7} = 1 .

7.4 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con centro en

(- 4, 1)

y un vértice en

(2, 1)

y semieje conjugado de longitud

4 .

El centro es

(- 4, 1) .

a = 6

b = 4 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 .

7.5 Determine la ecuación canónica de la hipérbola de ecuación

9 x^{2} - 16 y^{2} - 18 x - 64 y - 199 = 0 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1 .

Vértices en

(- 3, 2), (5, - 2)

y focos en

(- 4, - 2), (6, - 2) .

Las asíntotas son

y = \pm \frac{3}{4} (x - 1) - 2 .

7.6 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en

(0, 2)

(6, 2)

y asíntotas

y = 2 ∕ 3 x \land y = 4 - 2 ∕ 3 x

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1 .

Como $c = \sqrt{13},$ los focos son $(3 \pm \sqrt{13}, 2)$ y los vértices son $(3 \pm 3, 2) .$

7.7 Determine la ecuación canónica de la hipérbola que contiene al punto

(4, 6)

y cuyas asíntotas son

y = \pm \sqrt{3} x .

Como

\sqrt{3} \cdot 4 > 6,

la asíntota

y = \sqrt{3} x

va por arriba del punto

(4, 6) .

Esto nos dice que la ecuación de la hipérbola es

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Como

(4, 6)

está en la hipérbola y como

b^{2} = 3 a^{2},

entonces

\frac{16}{a^{2}} - \frac{36}{3 a^{2}} = 1 ⟹ a = 4 .

Así, la ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1 .

7.8 Determine la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y que contiene los puntos

(3, 1)

(9, 5) .

La opción que sirve es

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Evaluando los puntos se obtiene que la ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1 .

La opción $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ se descarta pues se evaluando los puntos se obtiene $a^{2} = - 6 .$

7.9Determine la ecuación canónica y realice la representación gráfica de la hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje

X,

el centro es

(2, 0),

una asíntota tiene ecuación

y = 2 x - 4

y un foco está a una distancia de

\sqrt{5}

unidades del centro.

Según los datos, la ecuación de la cónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Como una asíntota es

y = 2 x - 4 ⟹ \frac{b}{a} = 2,

entonces tenemos

{\begin{matrix} \frac{b}{a} & = & 2 \end{matrix} ⟹ a = 1 \land b = 2

∴ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{4} = 1

7.10 Determine la ecuación canónica de de la hipérbola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones,

1.: El centro de la hipérbola coincide con el vértice de la parábola de ecuación $y^{2} - 2 y + 8 x + 17 = 0 .$
2.: Uno de sus focos se ubica en $(3, 1)$
3.: Uno de sus vértices se ubica en $(1, 1) .$

Realice la gráfica e indique sus principales características.

La parábola tiene ecuación canónica

{(y - 1)}^{2} = - 8 (x + 2),

por tanto el centro de la hipérbola es

(- 2, 1) .

Como un foco esta en

(3, 1)

y un vértice esta en

(1, 1),

el eje transversal es paralelo al eje

X,

a = 3,

c = 5

b = 4 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 .

Sus focos son $(3, 1), (- 7, 1)$ y sus vértices $(1, 1), (- 5, 1) .$ Las asíntotas son $y = \pm \frac{4}{3} (x + 2) + 1 .$ La hipérbola interseca al eje $X$ en $x \approx - 5.093$ y $x \approx 1.0933 .$

7.11 Determine el tipo de cónica representada por la ecuación

\frac{x^{2}}{k} + \frac{y^{2}}{k - 16} = 1

en los casos

1: Si $k > 16$
Como $k > 0$ y $k - 16 > 0,$ se trata de una elipse.
2: Si $0 < k < 16$
Como $k > 0$ y $k - 16 < 0,$ se trata de una hipérbola.
3: Si $k < 0$
Como $k < 0$ y $k - 16 < 0,$ la ecuación no tiene solución, es decir, no es la ecuación de una curva.

7.12Determine la ecuación canónica y las características de la cónica que contiene a los puntos

P = (x, y)

para los cuales

| d (P, A) - d (P, B) | = 2

donde

A = (- 3, 0)

B = (- 3, 3) .

Realizar la gráfica.

Se trata de un hipérbola con focos

A

B

y por tanto

c = 1.5

y el centro es

(h, k) = (- 3, 3 ∕ 2)

. Como

| d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) | = 2 a

entonces

a = 1 .

y entonces

b^{2} = 5 ∕ 4 .

Luego ecuación canónica es

\frac{{(y - \frac{3}{2})}^{2}}{1} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{5 ∕ 4} = 1

Las asíntotas son $y = \pm \frac{1}{\sqrt{5 ∕ 4}} (x + 3) + 3 ∕ 2 .$ La intersección con los ejes son $y \approx - 1.363,$ $y \approx 4.363,$ $x \approx - 4.25$ y $x \approx - 1.75,$

7.13 Realice el dibujo de la sección cónica de ecuación

9 {(x - 1)}^{2} - {(y + 1)}^{2} = 9

. Indique además todas sus características.

Se trata de una hipérbola.

La ecuación canónica es

{(x - 1)}^{2} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1 .

$∙$: Centro $(1, - 1),$
$∙$: $a^{2} = 1$ y $b^{2} = 9,$
$∙$: $c^{2} = 1 + 9 ⟹ c = \sqrt{10},$
$∙$: Focos $(1 \pm \sqrt{10}, - 1)$ .
$∙$: Asíntotas: $y = \pm \frac{3}{1} (x - 1) - 1 .$

7.14En la definición de la hipérbola como un lugar geométrico se indica que

2 a < d (F_{1}, F_{2})

. ¿Qué pasa si

2 a \geq d (F_{1}, F_{2})