Rectas y planos

6. Rectas y planos

Las relaciones de ángulo, paralelismo y perpendicularidad entre una recta y un plano se establecen con un vector normal al plano y la dirección de la recta.

Definición 15 — Rectas y planos: Paralelismo, perpendicularidad y ángulo.

Consideremos la recta $L_{1} (t) = P + t v$ y el plano $Π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} .$ Entonces, si $n_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1}),$ tenemos

1: $L_{1} ∥ Π_{1}$ si y sólo si $n_{1} ⊥ v$ (Fig. 1.82)
2: $L_{1} ⊥ Π_{1}$ si y sólo si $n_{1} ∥ v$ (Fig. 1.83)
3: Ángulo (agudo): $∠ L, Π_{1} = \frac{π}{2} - ∠ n_{1}, v$ (Fig. 1.84)

Fig. 1.82:

Fig. 1.83:

Fig. 1.84:

Teorema 10.

Una recta $L_{1}$ está contenida en el plano $Π_{1}$ si es paralela a este plano y al menos un punto de esta recta está en $Π_{1} .$ En otro caso, la recta $L_{1}$ interseca al plano $Π_{1}$ en un punto o es paralela a $Π_{1}$ y ajena a él.

Ejemplo54

Considere el plano $Π (t, s) = P + t u + s v, t, s \in ℝ$ y sea $n = u \times v$ y $Q \notin Π .$

1: Según el Teorema 10, el plano $Π$ contiene a las rectas $L_{1} (t) = P + t u, t \in ℝ$ y $L_{2} (t) = P + t v, t \in ℝ .$ Esto es así porque $n ⊥ u$ y $n ⊥ v,$ entonces las rectas y el plano $Π$ son paralelas. Además el punto $P$ está en el plano y las rectas (Fig. 1.85).
2: El plano $Π$ es paralelo a la recta $L_{1} (t) = Q + t u, t \in ℝ$ y a $L_{2} (t) = Q + t v, t \in ℝ$ (Fig. 1.86).
3: El plano $Π$ es perpendicular a la recta $L_{3} (t) = Q + t n, t \in ℝ$ (Fig. 1.86).

Fig. 1.85:

Fig. 1.86:

Fig. 1.87:

Ejemplo55

Considere el plano $Π_{1} : 2 x - y + z = 0 .$

1: ¿ $(0, - 5, 0) \in Π_{1}$ ?
2: Determine tres rectas contenidas en $Π_{1}$
3: Determine una recta paralela a $Π_{1}$ pero ajena al plano
4: ¿La recta $2 x - y = 5$ está contenida en el plano $Π_{1}$ ?
5: ¿La recta $L (t) = (2, 3, 1) + t (1, 2, 1)$ interseca a $Π_{1}$ ?

Solución.

1: $(0, - 5, 0) \notin Π_{1}$ pues no satisface la ecuación del plano $Π_{1} : 2 \cdot 0 - (- 5) + 0 \neq 0$
2: Con la ecuación cartesiana de $Π_{1},$ podemos obtener de manera inmediata tres rectas en los planos básicos. Estas rectas son $L_{1} : 2 x - y = 0$ en el plano $xy,$ $L_{2} : 2 x + z = 0$ en el plano $xz$ y $L_{3} : - y + z = 0$ en el plano $yz .$
3: Un vector normal a $Π_{1}$ es $n_{1} = (2, - 1, 1) .$ La recta $L_{1} : 2 x - y = 0$ tiene ecuación vectorial $L_{1} (t) = t (1, 2, 0)$ pues $y = 2 x .$ Esta recta es paralela a $Π_{1}$ pues $(1, 2, 0) \cdot (2, - 1, 1) = 0 .$ Para que sea ajena al plano, solo necesitamos agregar un punto que no esté en $Π_{1},$ por ejemplo $P = (0, 0, 1) .$ Así que una recta paralela y ajena al plano puede ser $L_{1} (t) = (0, 0, 1) + t (1, 2, 0), t \in ℝ .$
4: La recta $L : 2 x - y = 5$ tiene ecuación vectorial $L (t) = (0, - 5, 0) + t (1, 2, 0)$ pues $y = 2 x - 5$ y es paralela al plano $Π_{1}$ pues $(1, 2, 0) . (2, - 1, 1) = 0 .$ Pero $(0, - 5, 0) \notin Π_{1},$ así que es ajena al plano.
5: Un vector normal a $Π_{1}$ es $n_{1} = (2, - 1, 1) .$ Como $(1, 2, 1) \times (2, - 1, 1) \neq 0,$ la recta y el plano no son paralelas, así que la recta interseca al plano.

Ejemplo56

Considere el plano $Π_{2} (t, s) = (0, 0, 0) + t (0, 1, 1) + s (- 1, 0, 2), t, s \in ℝ .$

1: Determine una recta contenida en $Π_{2}$
2: Determine una recta paralela a $Π_{2}$ pero ajena al plano
3: ¿La recta $L (t) = (2, 3, 1) + t (1, 2, 1)$ interseca a $Π_{2}$ ?

Solución.

1: Una recta en el plano $Π_{2}$ puede ser $L (t) = (0, 0, 0) + t (0, 1, 1), t \in ℝ$
2: Para obtener una recta paralela a $Π_{2}$ pero ajena, movemos la recta $L (t) = (0, 0, 0) + t (0, 1, 1), t \in ℝ,$ en la dirección de un vector normal a $Π_{2},$ por ejemplo $n_{2} = (0, - 1, 0) \notin Π_{2}$ Entonces una podríamos tomar $L (t) = (0, - 1, 0) + t (0, 1, 1), t \in ℝ$
3: Un vector normal a $Π_{2}$ es $n_{2} = (0, - 1, 0) .$ Como $(1, 2, 1) \times (0, - 1, 0) \neq 0,$ la recta y el plano no son paralelas, así que la recta interseca al plano.

6..1 Un plano para una recta.

Dada una recta, ¿cómo determinar un plano que la contenga?. Hay una infinidad de planos que contienen una recta dada.

Para determinar un plano $Π$ que contiene a $L$ podemos proceder de varias maneras.

1

L_{1} (t) = P + t v

, tomamos cuaquier vector

w

no nulo y no paralelo a

v

. Entonces la ecuación de un plano que contiene a

L

Π (t, s) : P + t v + s w, t, s \in ℝ

o también si $n = v \times w,$ la ecuación cartesiana del plano se obtiene de

Π : n \cdot (x, y, z) = n \cdot P

2

L_{1} (t) = P + t v, t \in ℝ,

tomamos

Q \notin L_{1} .

Entonces si $w = PQ,$

Π (t, s) : P + t v + s w, t, s \in ℝ

o también si $n = v \times PQ,$ la ecuación cartesiana del plano se obtiene de

Π : n \cdot (x, y, z) = n \cdot P

Fig. 1.88:

Fig. 1.89:

Un plano para una recta

1

L_{1} (t) = P + t v, t \in ℝ,

y si

Q \notin L_{1}

un plano que contiene a

L

y a

Q

Π : n \cdot (x, y, z) = n \cdot P con n = v \times PQ

2

L_{1} (t) = P + t v, t \in ℝ,

tomamos un vector

w

no nulo con

w ∦ v .

Un plano que contiene a

L

y a

Q

Π : n \cdot (x, y, z) = n \cdot P con n = v \times w

o también

Π (t, s) : P + t v + s w, t, s \in ℝ

Ejemplo57

Determine una ecuación cartesiana para el plano $Π$ que contiene a $Q = (0, 0, 1)$ y que contiene la recta $L : x = y = z .$

Solución.

Como $x = y = z,$ tenemos las ecuaciones simétricas de $L : \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{1} .$

Entonces $P = (0, 0, 0) \in L$ y la dirección de $L$ es $v = (1, 1, 1)$ .

1

Primera manera.

Q = (0, 0, 1) \notin L

pues no cumple la ecuación simétrica de

L

Un plano $Π$ que contiene a $L$ y a $Q$ tiene un vector normal

$n = (1, 1, 1) \times PQ = (1, 1, 1) \times (0, 0, 1) = (- 1, 1, 0)$

Entonces una ecuación cartesiana del plano $Π$ es $- x + y = Q \cdot (- 1, 1, 0),$ es decir,

Π : - x + y = 0 .

2

Segunda manera. El vector

w = (1, 1, 0)

no es paralelo a

v

(la ecuación

λ v = w

no tiene solución), entonces un plano que contiene a

L

Π (t, s) = (0, 0, 0) + t (1, 1, 1) + s (1, 1, 0), t, s \in R

Ejemplo58

Determine una familia infinita de planos que contiene la recta $L : x = y = z .$

Solución.

Como $x = y = z,$ tenemos las ecuaciones simétricas de $L : \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{1} .$

Entonces $L (t) = t (1, 1, 1), t \in ℝ .$ Para completar un plano que contenga a $L$ solo necesitamos otro vector $w$ no paralelo con $(1, 1, 1) .$

Una familia infinita de planos que contienen a $L$ es

Π (t, s) = t (1, 1, 1) + s w con t, s \in ℝ y w ∦ (1, 1, 1)

$w ∦ (1, 1, 1)$ si la ecuación $λ (1, 1, 1) = w$ no tiene solución, es decir, basta con que $w$ no sea nulo y no tenga dos componentes iguales.

Ejemplo59

Considere la recta

L (t) = (0, 0, 2) + t (0, 1, - 1) .

Determine una ecuación vectorial de un plano

Π_{1}

que contiene a

L

y que es perpendicular al plano

$Π_{2} : x - y = - 2 .$

Fig. 1.90:

Solución. Hay una infinidad de planos que contienen una recta. Un plano $Π_{1}$ que contiene a la recta $L$ tiene ecuación vectorial

Π_{1} (t, s) = (0, 0, 2) + t (0, 1, - 1) + s (w_{1}, w_{2}, w_{3}), t, s \in ℝ

con $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) ∦ (0, 1, - 1) .$

Ahora sea $n_{1} = w \times (0, 1, - 1)$ y $n_{2} = (1, - 1, 0) .$ Estos son vectores normales a $Π_{1}$ y a $Π_{2}$ respectivamente. Entonces

Π_{1} ⊥ Π_{2} si n_{1} \cdot n_{2} = 0

Por lo tanto tenemos que determinar al menos un vector $w$ tal que

$(0, 1, - 1) \times w] \cdot (1, - 1, 0) = 0 .$

$\begin{matrix} [(0, 1, - 1) \times (w_{1}, w_{2}, w_{3})] \cdot (1, - 1, 0) & = & 0 \\ (w_{2} + w_{3}, - w_{1}, - w_{1}) \cdot (1, - 1, 0) & = & 0 \\ w_{1} + w_{2} + w_{3} & = & 0 \end{matrix}$

Hay infinitas soluciones, así que podemos tomar la solución particular,

(w_{1}, w_{2}, w_{3}) = (- 1, 0, 1) .

Entonces un plano que cumple lo que se pide es

Π_{1} (t, s) = (0, 0, 2) + t (0, 1, - 1) + s (- 1, 0, 1), t, s \in ℝ

Planos paralelos para dos rectas.

Dadas dos rectas diferentes

L_{1} (t) = P + t v

L_{2} (t) = Q + t u, t \in ℝ,

siempre es posible encontrar dos planos paralelos

Π_{1}

Π_{2},

que contienen a

L_{1}

L_{2},

respectivamente (Fig. 1.91).

Un vector normal a estos dos planos es

n_{1} = u \times v .

Podemos tomar

Π_{1} : n_{1} \cdot (x, y, z) = n_{1} \cdot P

Π_{2} : n_{1} \cdot (x, y, z) = n_{1} \cdot Q

En particular

d (L_{1}, L_{2}) = d (Π_{1}, Π_{2}) = d (Π_{1}, Q)

Fig. 1.91:

Intersección de una recta con un plano.

Para obtener la intersección entre una recta $L_{1} : (x (t), y (t), z (t)) = P + t v$ y el plano $Π_{1} : ax + by + cz = d$ , lo que hacemos es obtener y sustituir $x (t), y (t)$ y $z (t)$ en la ecuación del plano. Luego resolvemos para $t$ .

Si el sistema tiene solución $t_{0}$ , el punto de intersección, si hay, es $I = L (t_{0})$ .

a x (t) + b y (t) + c z (t) = d .

Fig. 1.92:

n \cdot v \neq 0

Fig. 1.93:

n \cdot v = 0

Sea

P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) .

Si la recta no es paralela al plano entonces

n \cdot v \neq 0 .

En este caso hay un único punto de intersección.

a x (t) + b y (t) + c z (t) = d ⟹ a (p_{1} + t v_{1}) + b (p_{2} + t v_{2}) + c (p_{3} + t v_{3}) = d

Resolviendo para $t,$

t = \frac{- (a p_{1} + b p_{2} + c p_{3} + d)}{a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}} = - \frac{d + n \cdot P}{n \cdot v}

n \cdot v = 0,

entonces

a_{1} x (t) + b_{1} y (t) + c_{1} z (t) = d_{1}

tiene infinitas soluciones y esto significa que la recta está en el plano y si noy hay solución significa que la recta es paralela al plano pero es ajena a él.

Intersección de una recta con un plano. Sea

n = (a, b, c),

el plano

Π : ax + by + cz = d

y la recta

L_{1} : (x (t), y (t), z (t)) = P + t v

1: Si $n \cdot v \neq 0,$ el punto de intersección de la recta y el plano es $I = P + t_{0} v$ con $t_{0} = - \frac{d + n \cdot P}{n \cdot v}$
2: Si $n \cdot v = 0,$ la recta pertenece al plano o es paralela al plano, pero ajena a él.

Ejemplo60

Determine, si hubiera, el punto de intersección entre el plano $Π : 2 x - 5 y + z = 0$ y la recta $L (t) = (1, 2, 1) + t (1, 1, 1) .$

Solución.

$n = (2, - 5, 1)$ y $v = (1, 1, 1) .$ Como $n . v = - 2 \neq 0,$ hay un único punto de intersección. Tenemos dos maneras para encontrar el punto de intersección.

1

Usando la fórmula:

$I = P - \frac{d + n \cdot P}{n \cdot v} v = (1, 2, 1) - \frac{0 + (2, - 5, 1) \cdot (1, 2, 1)}{(2, - 5, 1) \cdot (1, 1, 1)} (1, 1, 1) = (- 5 / 2, - 3 / 2, - 5 / 2)$

2

Resolviendo la ecuación:

x (t) = 1 + t, y (t) = 2 + t

z (t) = 1 + t

entonces

$2 x (t) - 5 y (t) + 1 \cdot z (t) = 0 ⟹ 1 + t + 2 (1 + t) - 5 (2 + t) = 0 ⟹ t = - 7 / 2$

Entonces $I = (1, 2, 1) - 7 / 2 (1, 1, 1) = (- 5 / 2, - 3 / 2, - 5 / 2)$

7.1

Sean

A = (1, 1, 1),

B = (- 2, 1, 2)

C = (3, - 3, 0) .

1: Calcule una ecuación vectorial de la recta $L_{1}$ que pasa por $A$ y $B$
Se omite.

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2: Calcule una ecuación vectorial del plano $Π_{1}$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$
Se omite.

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3: Calcule una ecuación cartesiana del plano $Π_{1}$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$
Se omite.

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7.2Calcule una ecuación cartesiana del plano

Π_{2}

que contiene a la recta

L_{3} : (x, y, z) = t (1, 0, 3)

y pasa por

Q = (- 2, - 2, 2) .

Se omite.
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7.3Calcule una ecuación cartesiana del plano

Π_{3}

que contiene al punto

Q = (- 2, - 2, 2)

y es paralelo al plano

Π_{4} : x + 2 y - z = 1 .

Se omite.
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7.4Determine una ecuación cartesiana del plano

Π

que contiene al punto

(1, 1, 1)

y que es que paralelo a las rectas

L_{5} (t) = (1, 1, 1) + t (1, - 1, 1)

L_{6} (t) = (3, - 1, 1) + t (- 1, 1, 2) .

Se omite.
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7.5Considere el plano

Π

de ecuación vectorial

Π : (1, 2, 0) + t (- 2, 4, 1) + s (1, 1, 2) .

¿Cuáles de los siguientes puntos

(0, 0, 0), (1, 2, 0)

(2, - 3, - 3),

están en el plano

Π

Se omite.
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