Teorema de la Divergencia.

7. Teorema de la Divergencia.

Ahora nos interesa analizar el flujo de un campo vectorial $F (x, y, z) = (P, Q, R)$ continuamente diferenciable, a través de la frontera $S = ∂E$ de un sólido simple $E,$ en la dirección del vector normal unitario exterior a $S = ∂E$ (esta superficie $S = ∂E$ es una superficie cerrada). El flujo total se puede separar entre el flujo que entra y el flujo que sale. En cada cara del sólido el flujo podría ser distinto.

Divergencia significa “alejarse de”. Intuitivamente, la “divergencia” es la densidad de flujo o flujo neto por unidad de volumen; es la cantidad de flujo que entra o sale en un punto y se calcula como el “cambio de flujo total”, es decir, la suma del cambio de $F$ en la dirección de $X,$ el cambio de $F$ en la dirección de $Y$ y el cambio de $F$ en la dirección de $Z .$

Pensemos en

F

como el campo de velocidades de un fluido. Si encerramos el punto

(a, b, c)

en una caja pequeña

E

de volumen

Δ V

, el flujo neto que sale de

E

Φ (E) = \underset{Integral sobre superficie cerrada}{\underset{⏟}{∯_{∂E} F \cdot N dS}},

mide cuánto fluido se está creando (si $Φ (B) > 0$ ) o destruyendo (si $Φ (E) < 0$ ) dentro de la caja: Lo que entra por un lado y no sale por otro debe deberse a una "fuente" o un "sumidero interno". Si $E$ es pequeña, este flujo neto es proporcional al volumen encerrado,

Φ (E) \approx (factor) \cdot Δ V,

y ese factor de proporcionalidad, evaluado en el límite $Δ V \to 0$ , es la divergencia de $F$ en $(a, b, c)$ : Una densidad de flujo, es decir, cuánto fluido se genera por unidad de volumen en ese punto.

Definición 28 — Divergencia, definición intrínseca.

La divergencia de $F$ en $(a, b, c)$ es

Div F (a, b, c) : = lim_{Δ V \to 0} \frac{1}{Δ V} ∯_{∂E} F \cdot N dS,

donde $B$ es cualquier caja (o región) que se contrae a $(a, b, c)$ .

Esta definición no depende de coordenadas ni de la forma de

E

: solo depende del punto. El siguiente resultado la hace calculable.

Teorema 32.

Si $F = (P, Q, R)$ es de clase $C^{1}$ , el límite anterior existe y

Div F (a, b, c) = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z} |_{(a, b, c)} .

Definición 29.

La divergencia del campo vectorial $F = (P, Q, R)$ es el campo escalar

Div F = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}

a: $Div F (a, b, c) > 0$ : El punto se comporta como fuente (el fluido se expande localmente).
b: $Div F (a, b, c) < 0$ : El punto se comporta como sumidero (el fluido se comprime).
c: $Div F \equiv 0$ : El campo es solenoidal o incompresible — nada se crea ni se destruye, todo lo que entra a cualquier región sale de ella.

Divergencia como "densidad local" de flujo

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En un caso sencillo, se toma un cubo

E

centrado en

(a, b, c)

con aristas paralelas a los ejes. Calcular el flujo sobre

S = ∂E

requiere calcular el flujo sobre cada una de las caras.

Fig. 7.37: Flujo a través de

S = ∂E

En la cara que contiene al punto

(a + Δ x ∕ 2, b, c)

(punto rojo en la figura anterior) la estimación del flujo total

”F t_{x +} ”

sería

F t_{x +} \approx F (a + Δ x ∕ 2, b, c) \cdot (1, 0, 0) Δ y Δ z = P (a + Δ x ∕ 2, b, c) Δ y Δ z

En la cara opuesta, que contiene al punto

(a - Δ x ∕ 2, b, c)

, el vector normal exterior apunta en dirección

(- 1, 0, 0)

, así que la estimación del flujo total

”F t_{x -} ”

sería

F t_{x -} \approx F (a - Δ x ∕ 2, b, c) \cdot (- 1, 0, 0) Δ y Δ z = - P (a - Δ x ∕ 2, b, c) Δ y Δ z

Luego el flujo total estimado en ambas caras sería,

\begin{array}{rcl} F t_{x +} + F t_{x -} & \approx & P (a + Δ x ∕ 2, b, c) - P (a - Δ x ∕ 2, b, c) Δ y Δ z \\ = & \frac{∂P}{∂x} (a, b, c) Δ x Δ y Δ z si Δ x \approx 0 \end{array}

De manera similar, si

Δ V

es el volumen de la caja, el flujo total en las caras paralelas a los planos

y = 0

z = 0

sería aproximadamente

\frac{∂Q}{∂y} (a, b, c) Δ V

\frac{∂R}{∂z} (a, b, c) Δ V,

respectivamente.

Así, el flujo total a través de

S = ∂E

con vector normal exterior, sería aproximadamente

{(\frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}) |}_{(a, b, c)} Δ V

Así, el flujo total que pasa a través de la frontera de una pequeña caja de centro

(a, b, c)

es un escalamiento del volumen: el factor de escalamiento

\frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}

, evaluado en el centro, se llama divergencia.

Definición 30.

La divergencia del campo vectorial $F = (P, Q, R)$ es el campo escalar

Div F = \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z}

¿Por qué esto vale para un sólido cualquiera, y no solo para una cajita? Tomemos ahora un sólido

E

de forma arbitraria y particiónemoslo en muchas cajas pequeñas

E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}

, cada una con volumen

Δ V_{i}

y centro

(a_{i}, b_{i}, c_{i})

. Por lo que acabamos de ver, en cada cajita

\iint_{\partial E_{i}} F \cdot N dS \approx Div F (a_{i}, b_{i}, c_{i}) Δ V_{i}

Ahora sumemos sobre todas las cajitas. La clave es que toda cara interior es compartida por dos cajas vecinas, y en esa cara los vectores normales exteriores de ambas cajas apuntan en direcciones opuestas. Por lo tanto, al sumar, el flujo por esa cara interior aparece dos veces con signos opuestos y se cancela. Lo único que sobrevive a la suma es el flujo por las caras que quedan en la frontera

∂E

del sólido completo:

\sum_{i = 1}^{n} \iint_{\partial E_{i}} F \cdot N dS = \iint_{∂E} F \cdot N dS

Combinando ambas cosas,

\sum_{i = 1}^{n} Div F (a_{i}, b_{i}, c_{i}) Δ V_{i} \approx \iint_{∂E} F \cdot N dS

Pero el lado izquierdo es exactamente una suma de Riemann para

Div F

sobre

E

: si

F

es continuamente diferenciable,

Div F

es continuo, y al refinar la partición (hacer que el diámetro de cada

E_{i}

tienda a cero) esa suma converge a la integral triple,

\sum_{i = 1}^{n} Div F (a_{i}, b_{i}, c_{i}) Δ V_{i} \to ∭_{E} Div F dV

Y así llegamos a

∭_{E} Div F dV \approx \iint_{∂E} F \cdot N dS

Es decir: la divergencia, integrada sobre todo el volumen, "contabiliza" exactamente el flujo neto que atraviesa la frontera, porque todo lo que pasa de una cajita a la vecina se cancela internamente — solo cuenta lo que realmente entra o sale por el borde exterior de

E

. Esta identidad, hecha exacta (no solo aproximada), es la generalización conocida como el Teorema de la Divergencia o Teorema de Gauss.

Teorema 33 — Teorema de la Divergencia.

Sea $E$ un sólido limitado por una superficie orientable $S = ∂E$ y sea $N$ el vector normal unitario siempre exterior a $E .$ Si $F$ es un campo vectorial de clase $C^{1}$ sobre $E$ entonces

∭_{E} Div F dV = \iint_{S} F \cdot N dS

donde

Div F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}

F = (P, Q, R) .

Como estamos asumiendo

N

exterior a

E,

entonces

\iint_{S} F \cdot N d S,

calcula "el flujo neto que sale" de

E

. Si no usamos el teorema de la divergencia, tendríamos que ajustar en cada superficie el vector

N

para que quede exterior al sólido

E .

Ejemplo203Teorema de la divergencia

Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

F (x, y, z) = (z + 1) k,

$S$ es la frontera del sólido $E$ limitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1,$ el plano $z = 2 + y$ y $z = 0,$ como se ve en la Figura 7.38, y $N$ es el vector unitario siempre exterior a $E .$

Fig. 7.38: Superficie

S .

Solución. En vez de calcular la integral sobre cada una de las tres superficies que conforman la frontera de $E$ (ver los Ejemplos 201, 199 y 200), usamos el teorema de la divergencia.

$F (x, y, z) = (0, 0, z + 1)$ y $Div F = 0 + 0 + 1 = 1 .$

Proyectando sobre el plano $XY$ y usando coordenadas cilíndricas, tenemos

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{0}^{2 + y} 1 d z dA (la cantidad de flujo coincide con el volumen de E!) \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 + r sen 𝜃} 1 r dz dr d𝜃 = 2 π \end{array}

La importancia de que

N

sea exterior a

E .

Se pide

N

sea exterior a

E

por convenio, para medir el flujo en esa dirección. Si

N

no es siempre exterior a

E,

el flujo neto, por supuesto, cambia.

Consideremos los Ejemplos 201, 199 y 200. El cálculo de la integral de flujo se hizo siempre con

N_{1} = (- f_{x}, - f_{y}, 1)

pero este vector no siempre es exterior a $E .$ En el caso de la superficie $S_{a}$ (Figura 7.39), este vector no es exterior y

\iint_{S_{a}} F \cdot N dS = π .

Fig. 7.39: Superficie

S = S_{1} + S_{2} + S_{3}

El resultado correcto es

\iint_{S} F \cdot N d S = \iint_{S_{a}} F \cdot (- N) dS + \iint_{S_{b}} F \cdot N dS + \iint_{S_{c}} F \cdot N dS = - π + 3 π + 0 = ∭_{E} Div F dV = 2 π

Ejemplo204Teorema de la divergencia

Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

F (x, y, z) = y cos x i + \frac{1}{2} y^{2} sen x j + z k

y $S$ es la frontera del sólido $E$ comprendido entre las superficies $z = 1 + y,$ $x^{2} + y^{2} = 1$ y $z = 0,$ y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Fig. 7.40: Superficie

S .

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano $XY$ es un círculo $x^{2} + y^{2} = 1 .$

Div F = - y sen x + y sen x + 1 = 1 .

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{0}^{1 + y} 1 r dz dA \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 + r sen 𝜃} r dz dr d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (1 + r sen 𝜃) r drd𝜃 = π \end{array}

Ejemplo205Teorema de la divergencia

Calcule

\iint_{S} F \cdot N d S

F = (\frac{x^{3}}{3}, z, yx) .

S

es la frontera del sólido

E

(Figura 7.41) y

N

es el vector normal unitario y exterior a

E .

$E$ está limitado por las superficies $S_{a} : z = sen (xy), S_{b} : x = \frac{π}{2}$ y $S_{c} : y = x .$

Fig. 7.41: sólido

E

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano $XY$ es el triángulo $0 \leq x \leq π ∕ 2$ y $0 \leq y \leq x .$

$Div F = x^{2}$

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{sen (xy)} x^{2} dzdydx \\ = & \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{x} x^{2} sen (xy) dydx = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x - x cos (x^{2}) dx \\ = & \frac{1}{8} (π^{2} - 4 sen (\frac{π^{2}}{4})) \end{array}

Ejemplo206Teorema de la divergencia

Calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

F (x, y, z) = x i + y j + z k

S

es la frontera del sólido

E

comprendido entre las superficies

z = 10 - x^{2} - y^{2}

z = 2 + x^{2} + y^{2},

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E .

Fig. 7.42: Superficie

S .

Solución. Podemos usar el teorema de la divergencia.

$F (x, y, z) = (x, y, z)$ y $Div F = 1 + 1 + 1 = 3 .$

La proyección del sólido sobre el plano $XY$ es un círculo de radio $2$ pues

z = 10 - x^{2} - y^{2} \cap z = 2 + x^{2} + y^{2} ⟹ 4 = x^{2} + y^{2} .

Usando coordenadas cilíndricas obtenemos,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV \\ = & \iint_{D} \int_{2 + x^{2} + y^{2}}^{10 - x^{2} - y^{2}} 3 d z dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} \int_{2 + r^{2}}^{10 - r^{2}} 3 r dz dr d𝜃 = 48 π \end{array}

8.1

Consideremos el campo de fuerzas

F

con

\begin{matrix} F (x, y, z) & = & (x + sen (y)) i \\ + & (ln (xz) - y) j \\ + & (2 z + arctan (xy)) k \end{matrix}

Calcule la integral de superficie $\iint_{S} F \cdot N d S$ donde $S$ es la frontera del sólido $E$ (Figura 7.43) y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Fig. 7.43:

Se puede aplicar el teorema de divergencia.

Div F = 1 - 1 + 2 = 2 .

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} \int_{0}^{3 - x} 2 dydzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} (6 - 2 x) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} (6 - 2 x) (4 - x^{2}) dx \\ = & \int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x + 24) dx \\ = & {(\frac{x^{4}}{2} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x) |}_{0}^{2} = 8 - 16 - 16 + 48 = 24 \end{array}

8.2

Use el teorema de la divergencia para calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

donde

S

es la frontera del sólido

E

, limitado por la superficie

z = x^{2} + y^{2} + 5

y el plano

z = 10,

tal y como se muestra en la Figura 7.44,

F (x, y, z) = 2 x i + y j + z k

N

es el vector normal unitario exterior a

E .

Fig. 7.44: Sólido

E

Se omite.

8.3

Sea

F (x, y, z) = x y^{2} i + x^{2} y j + y k

y sea

S

la frontera del sólido

E

limitado por

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1, S_{2} : z = 1

S_{3} : z = - 1 .

como se ve en la Figura 7.45. Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ donde $N$ es el vector normal unitario exterior a $E .$

Fig. 7.45:

div F = y^{2} + z^{2}

La proyección es el círculo

x^{2} + y^{2} \leq 1

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} div F dV \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{- 1}^{1} r^{2} r drd𝜃 \\ = & π \end{array}

8.4

Sea

S

la frontera del sólido

E

limitado por la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2

y el cono

2 z^{2} = y^{2} + x^{2}

, tal y como se muestra en la Figura 7.46.
Si

F (x, y, z) = xz i + x arctan (xz) j + \frac{z^{2}}{2} k

, calcular

\iint_{S} F \cdot N d S

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E .

Fig. 7.46: Sólido

E .

Como $S = ∂E$ y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E,$ podemos usar el teorema de la divergencia. Proyectando sobre $XY$ tenemos

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N dS & = & ∭_{E} Div F dV = \iint_{R_{xy}} \int_{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) ∕ 2}}^{\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}} 2 z dz dA \\ = & \iint_{R_{xy}} {z^{2} |}_{\sqrt{(x^{2} + y^{2}) ∕ 2}}^{\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}} dA \\ = & \iint_{R_{xy}} (2 - x^{2} - y^{2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2}) dA \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 ∕ \sqrt{3}} (2 - r^{2} - \frac{r^{2}}{2}) \cdot r drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 ∕ \sqrt{3}} (2 r - \frac{3}{2} r^{3}) drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} \frac{2}{3} d𝜃 = \frac{4 π}{3} \end{matrix}

8.5

Sea

E

el sólido que se muestra en la figura a la derecha y sea

S

la frontera de

E,

es decir,

S = ∂E

. Calcule

\iint_{S} F \cdot N d S

donde

F (x, y, z) = (x^{3} + sen z, x^{2} y + cos z, tan (x^{2} + y^{2}))

y $N$ es el vector normal unitario siempre exterior a $E .$

Como

S = ∂E

N

es el vector normal unitario siempre exterior a

E,

podemos usar el teorema de la divergencia. Proyectando sobre

XZ

tenemos

\iint_{S} F \cdot N dS = \int_{- 2}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} \int_{0}^{5 - z} 4 x^{2} dy dzdx

8.6

Sea

F (x, y, z) = (z^{2} + 2) k

S

la frontera del sólido

Q,

el cual se muestra en la Figura 8., y

N

es un vector normal exterior a

E .

a.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ sin usar el Teorema de la Divergencia.
b.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ usando el teorema de la Divergencia.

Se omite

8.7

Sea

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + yz k,

S

es la frontera del sólido

E,

el cual se muestra en la Figura 7.47, y

N

es un vector normal exterior a

E .

a.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ sin usar el Teorema de la Divergencia.
b.): Calcule $\iint_{S} F \cdot N d S$ usando el teorema de la Divergencia.

Fig. 7.47:

Se omite.