W. Mora-FloresRevista Matemática, educación e Internet

Cálculo Superior

2. Elipses

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2. Elipses

Una elipse en un plano se puede definir de varias maneras. En nuestro caso solo consideramos una definición como "lugar geométrico" y otra definición en términos de una ecuación general.

2.1 La Elipse como lugar geométrico

Definición 1 (La elipse como lugar geométrico.).

En un plano, una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos $Q$ cuya suma de distancias a dos puntos fijos, $F_{1}$ y $F_{2},$ (llamados focos), es constante (mayor que $d (F_{1}, F_{2})$ ). Si llamamos a la constante " $2 a$ ", entonces

d (Q, F_{1}) + d (Q, F_{2}) = 2 a con 2 a > d (F_{1}, F_{2}),

Figura 1: Elipse

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En el script que sigue,

1.: Seleccionamos y arrastramos el punto $Q$ . ¿Qué observaciones podemos anotar?
2.: Seleccionamos y arrastramos el Foco $F_{1}$ o el $F_{2}$ : ¿Qué observaciones podemos anotar?
3.: Seleccionamos y arrastramos el deslizador : ¿Qué observaciones podemos anotar?

Características

1.: El eje focal es la recta que pasa por los focos $F_{1}$ y $F_{2}$
2.: Los vértices $V_{1}$ y $V_{2}$ son los puntos de la elipse que están en el eje focal
3.: El eje mayor es el segmento $\bar{V_{1} V_{2}}$ . Un "semieje mayor" es la mitad de este segmento.
4.: El eje menor es el segmento $\bar{V_{3} V_{4}}$ . Un "semieje menor" es la mitad de este segmento
5.: El centro $O$ es el punto medio entre los focos y la distancia de los vértices al centro $O$ es $a$ , es decir, $a = d (V_{1}, O) = d (V_{2}, O)$

Figura 2: Elipse

2.2 Propiedad focal de la elipse

Así como la parábola, la elipse posee una propiedad de reflexión importante: Los "rayos" que salen de un foco se reflejan en la elipse y llegan al otro foco. Además de las aplicaciones conocidas en Astronomía, la propiedad focal de la elipse se utiliza en el diseño de reflectores y lámparas médicas, donde una fuente de luz ubicada en uno de los focos permite concentrar la iluminación en el otro. También se usa en dispositivos médicos y sistemas de telecomunicación, por su capacidad de concentrar señales o energía entre los focos.

Figura 3: Propiedad focal

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El script que sigue es una animación: Cada foco de la elipse puede jugar el papel de emisor o el de receptor. Lo que "emite" un foco se concentra en el otro foco.

3. Ecuación general

A mediados del siglo XVII (circa 1650), Pierre de Fermat (1601-1665) inició el estudio de las cónicas (parábola, elipse e hipérbola) usando coordenadas (Geometría Analítica) y en 1655 John Wallis (1616-1703) demostró, reemplazando razonamiento geométrico con razonamiento algebraico, que las "cónicas" son curvas de ecuación polinomial de grado $2$ (en $x$ y $y$ ).

Teorema 1.

Sean $A, B, C, D, E, F$ no todos nulos. La ecuación general de segundo grado de una curva $C$ es

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0

(1)

Sea $Δ = 4 ACF - A E^{2} - B^{2} F + BDE - C D^{2}$ . Tenemos

Si $C$ es una elipse entonces $B^{2} - 4 AC < 0$ .
Si $Δ \neq 0$ y $B^{2} - 4 AC < 0$ y $Δ ∕ (A + C) < 0$ , entonces $C$ es una elipse

Que $B^{2} - 4 AC < 0$ no siempre significa que la ecuación 1 representa una elipse. Pero si estamos seguros que es una elipse, entonces si $B^{2} - 4 AC = 0$

La ecuación 1 tambíen puede ser una "cónica degenerada": Un punto, de dos rectas (paralelas o que se intersecan) o algo "indefinido" (corresponden a objetos en el "mundo de los números complejos")

La ecuación $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ cumple con $Δ \neq 0$ y $B^{2} - 4 AC < 0$ , pero no es una elipse!. Es por estos casos que se pide también $Δ ∕ (A + C) < 0$

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En el script que sigue podemos cambiar los coeficientes de la ecuación general

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0

1.: Determinemos un valor $B \neq 0$ , tal que la representación gráfica sea una elipse (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!)
2.: Pruebe con varios valores $B = 0$ y con $B \neq 0$ de tal manera que obtengamos elipses. Indique sus observaciones acerca del eje focal
3.: Determinemos un valor $B \neq 0$ , tal que la representación gráfica no sea una elipse (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!), sino una recta o un par de rectas, un punto, o indefinida.

3.1 Ecuación canónica

Si en la ecuación general de una elipse, $B = 0,$ entonces $A \neq 0$ y $C \neq 0$ y la cónica está en "posición estándar", es decir, el eje focal es paralelo al eje x o paralela al eje y . En este caso, si el centro es $(h, k),$ podemos deducir, usando nuestra definición de elipse como lugar geométrico y completando cuadrados , la llamada "ecuación canónica"o natural: En esta ecuación aparece la información del centro, de los focos y la longitud de los semiejes.

La elipse también tiene "dos directrices", estas rectas se usan para definir la elipse como el lugar geométrico de los puntos en los que la razón entre la distancia al foco y la distancia a la directriz ("excentricidad") es constante y menor que $1$ . Aquí no nos ocupamos de esta definición.

Elipse en posición estándar: Eje focal paralelo al eje y . En este caso, si el centro es

(h, k)

y la longitud del semieje mayor es

2 a

, tenemos

\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1 donde {\begin{matrix} ∙ Longitud semieje mayor: a \\ ∙ Longitud semieje menor: b \\ ∙ Distancia del centro a un foco: c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ ∙ Centro: (h, k) \\ ∙ Focos: F_{1} = (h, k + c), F_{2} = (h, k - c) \end{matrix}

Elipse en posición estándar: Eje focal paralelo al eje x . En este caso, si el centro es

(h, k)

y la longitud del semieje mayor es

2 a

, tenemos

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 donde {\begin{matrix} ∙ Longitud semieje mayor: a \\ ∙ Longitud semieje menor: b \\ ∙ Distancia del centro a un foco: c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ ∙ Centro: (h, k) \\ ∙ Focos: F_{1} = (h - c, k), F_{2} = (h + c, k) \end{matrix}

En resumen,

En ambos casos,

c^{2} = a^{2} - b^{2}

pues

a \geq b

Figura 4: Elipses con elfocal paralelo al eje x y al eje y

Si $a = b$ , tenemos la circunferencia de ecuación ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2} .$

Ejemplo 1.

Hallar la ecuación canónica de la elipse $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0 .$ Realizar su gráfica identificando los vértices, los focos y el centro.

Solución. Para hallar la ecuación canónica debemos completar cuadrados en ambas variables $x$ e $y$ .

\begin{matrix} 4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 & = & 0 \\ 4 x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y & = & 8 \\ 4 {(x - 1)}^{2} - 4 + {(y + 2)}^{2} - 4 & = & 8 \\ 4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} & = & 16 \\ Dividimos por 16 \\ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} & = & 1 \end{matrix}

Figura 5: Elipse

$∙$: El centro es $(h, k) = (1, - 2) .$ La elipse tiene eje mayor paralelo al eje y .
$∙$: Como $a^{2} = 16$ y $b^{2} = 4,$ entonces $a = 4$ y $b = 2 .$
$∙$: Ahora, $c^{2} = 16 - 4 ⟹ c = \sqrt{12} .$ Los focos son $(1, - 2 \pm \sqrt{12})$ y los vértices son $(1, - 6), (1, 2)$ .
$∙$: Las intersecciones con los ejes son $y \approx - 5.46,$ $y \approx 1.46,$ $x \approx - 0.73$ y $x \approx 2.73 .$

Ejemplo 2.

Determine la ecuación canónica y las características más importantes de la elipse cuyo eje mayor tiene extremos $(- 3, 5)$ y $(7, 5)$ y cuyo eje menor tiene extremos $(2, 2)$ y $(2, 8) .$

Solución. El centro es el punto medio entre $(- 3, 5)$ y $(7, 5),$ es decir, $(2, 5) .$ El semieje mayor mide $a = 5$ y el semieje menor mide $b = 3 .$

$∙$: Como el eje mayor es paralelo al eje x , la ecuación canónica es, $\frac{{(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{9} = 1 .$
$∙$: Como $c^{2} = 25 - 9,$ entonces $c = 4$ y los focos son $(2 \pm 4, 5) .$ Los vértices son $(2 \pm 5, 5) .$ Las intersecciones con el eje y son $y \approx 2.25$ y $y \approx 7.75 .$

Figura 6:

Ejemplo 3.

Determine la ecuación canónica de la elipse con focos en $(2, 5)$ y $(2, 3)$ y que contiene al punto $(3, 6) .$ Realizar la gráfica.

Solución. Por la posición de los focos, el eje mayor es paralelo al eje y . Además también deducimos que el centro es $(h, k) = (2, 4)$ y que $c = 1 .$ Como $c^{2} = a^{2} - b^{2},$ tenemos $b^{2} = a^{2} - 1 .$

Hasta ahora tenemos que la ecuación canónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{a^{2}} = 1

Como $b^{2} = a^{2} - 1$ y como la elipse contiene al punto $(3, 6),$ este punto satisface esta ecuación, es decir,

\begin{array}{rcl} \frac{{(3 - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(6 - 4)}^{2}}{a^{2}} & = & 1, \\ \frac{1}{a^{2} - 1} + \frac{4}{a^{2}} & = & 1 ⟹ a^{2} = 3 \pm \sqrt{5} . \end{array}

Figura 7:

Como

b^{2} = a^{2} - 1 > 0,

la única solución es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 + \sqrt{5}} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{3 + \sqrt{5}} = 1 .

Las intersecciones con el eje y son $y \approx 3.46, y \approx 4.54 .$

Ejemplo 4.

Determine la ecuación de la circunferencia de radio $2$ con centro en el vértice de la parábola de foco $(1, - 1)$ y directriz $x = - 3 .$ Realizar la gráfica.

Solución. Como el vértice de una parábola está a la mitad del camino entre el foco y la directriz entonces $(h, k) = (- 1, - 1) .$ La ecuación de la circunferencia es

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 .

$∙$: Las intersecciones con el eje x son $x \approx - 2.73$ y $x \approx 0.73 .$
$∙$: Las intersecciones con el eje y son $y \approx - 2.73$ y $y \approx 0.73 .$

Figura 8:

4. Ejercicios

Ejercicio 4.1 Análisis de una elipse aleatoria

1.

Generación de la ecuación:

Presionar el botón “Ejercicio” genera una ecuación general de una elipse (sin rotación).

2.

Tareas requeridas:

(a)

Transformar la ecuación a su forma canónica.

(b)

Calcular:

Centro $(h, k)$
Longitud de semieje mayor y semieje menor y distancia del centro a cada foco
Vértices $V_{1}, V_{2}, V_{3}, v_{4}$
Focos $F_{1}, F_{2}$

(c)

Graficar con:

$V_{1}, V_{2}, V_{3}, v_{4}$
$F_{1}, F_{2}$
Instersección con ejes x y/o y , si hubiera

3.

Verificación:

Usar el botón “Respuesta” solo para contrastar con tu solución completa.

Ejercicio 4.2 Determine la ecuación de la elipse cuyo centro está en el origen, contiene al punto

(- 1, 3)

y uno de sus vértices es

(0, 5) .

Realizar la gráfica.

Los datos los podemos representar en la figura de la derecha.

Como el centro es $(h, k) = (0, 0),$ entonces la ecuación es

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

Esto es así pues el vértice $(0, 5)$ nos indica que el eje mayor está (en este caso) sobre el eje y .

Figura 9:

Ahora, como $(0, 5)$ es un vértice y el centro está en $(0, 0)$ , se sigue que $a = 5$ y

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{25} = 1

Por otra parte, como $(- 1, 3)$ está en la elipse

\frac{{(- 1)}^{2}}{b^{2}} + \frac{3^{2}}{25} = 1

de aquí, despejando, obtenemos $b^{2} = \frac{25}{16} .$ Finalmente, la ecuación canónica de la elipse es

\frac{x^{2}}{\frac{25}{16}} + \frac{y^{2}}{25} = 1

Ejercicio 4.3 Determine la ecuación canónica de la elipse con vértices en

(3, 1), (3, 9)

y eje menor de longitud

6

. Realizar la gráfica.

El eje mayor de la elipse es paralelo al eje y . Como la longitud del eje menor es de

6

unidades, entonces

b = 3 .

Como los vértices están en

(3, 1)

(3, 9),

entonces el centro es

(h, k) = (3, 5)

y por tanto

a = 4 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{16} = 1

La gráfica de la elipse se muestra en la figura de la derecha. Solo hay una intersección con el eje y en $y = 5 .$

Figura 10:

Ejercicio 4.4 Determinar la ecuación canónica de la elipse si se sabe que es tangente a los ejes en el primer cuadrante y uno de sus vértices es

(8, 2) .

La elipse se puede ver en la Figura 11

Como la elipse es tangente a los ejes en el primer cuadrante, el otro vértice debe ser $(0, 2)$ (su eje mayor no puede ser paralelo al eje y pues su semieje menor sería de $8$ unidades y el mayor de $1$ unidad!). Luego, $(h, k) = (4, 2),$ $a = 4$ y $b = 2 .$ La ecuación canónica es

\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1 .

Figura 11:

Ejercicio 4.5 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en

(0, 0)

, eje mayor horizontal y los puntos

(3, 1)

(4, 0)

están en la elipse.

La elipse se puede ver en la Figura 12

Según los datos, $(h, k) = (0, 0)$ y $(4, 0)$ es el vértice de la derecha, entonces $a = 4$ y $(3, 1)$ satisface la ecuación de la elipse:

\frac{3^{2}}{16} + \frac{1^{2}}{b^{2}} = 1 ⟹ b^{2} = \frac{16}{7} .

La ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{\frac{16}{7}} = 1 .

Figura 12:

$\begin{matrix} ∙ Centro: (h, k) = (0, 0) \\ ∙ c = \sqrt{\frac{96}{7}} \\ ∙ Focos: (0 \pm \sqrt{\frac{96}{7}}, 0) \\ ∙ Vértices: (4, 0) y (- 4, 0) . \end{matrix}$

Ejercicio 4.6 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en

(2, 1),

longitud del eje menor

2 ul

y eje mayor vertical y de longitud

6 ul .

{(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1

1.: Centro: $(h, k) = (2, 1)$
2.: $c = \sqrt{8}$
3.: Focos: $(2, 1 \pm \sqrt{8})$
4.: Vértices: $(2, 1 \pm 3)$

Ejercicio 4.7 Hallar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse que tiene un vértice y un foco en común con la parábola

y^{2} + 4 x = 32

y que tiene su otro foco en el origen.

La elipse se puede ver en la Figura 13

La ecuación canónica de la parábola es $y^{2} = - 4 (x - 8) .$ De esta ecuación se obtiene el otro foco y un vértice derecho de la elipse. La ecuación canónica es

\frac{{(x - 3.5)}^{2}}{4 . 5^{2}} + \frac{y^{2}}{8} = 1 .

Figura 13:

$∙$: Centro: $(h, k) = (3.5, 0),$
$∙$: $c = 3.5,$
$∙$: Focos: $F_{1} = (0, 0)$ y $F_{2} = (7, 0),$
$∙$: Vértices: $V_{1} = (- 1, 0)$ y $V_{2} = (8, 0) .$

Ejercicio 4.8 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse cuya suma de distancias a los puntos

(\pm 3, 0)

16

La ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{55} = 1 .

$∙$: Centro: $(h, k) = (0, 0),$
$∙$: $c = 3,$
$∙$: focos: $(\pm 3, 0),$
$∙$: vértices: $(\pm 8, 0) .$

Ejercicio 4.9 Se tiene un círculo inscrito en un cuadrado tal y como se muestra en la Figura 14 que sigue. Determinar el radio.

Figura 14:

Si consideramos los lados del cuadrado como ejes coordenados, el círculo inscrito es un círculo con centro en $(r, r)$ y $(x, y) = (3, 4)$ es un punto en la circunferencia.

Por lo tanto,

\begin{array}{rcl} {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} & = & r^{2}, \\ {(3 - r)}^{2} + {(4 - r)}^{2} & = & r^{2}, \\ r & = & 7 - 2 \sqrt{6} \approx 2.1 \\ r & = & 7 + 2 \sqrt{6} \approx 11.8 \end{array}

Como $r < 4$ entonces $r = 7 - 2 \sqrt{6} .$

Figura 15:

Ejercicio 4.10 Considere la cónica

C

de ecuación

x^{2} - 4 x + 8 y + 12 = 0 .

Determine la ecuación canónica y las características más importantes, de la elipse que cumple simúltaneamente con las siguientes condiciones,

1.: Su centro coincide en el vértice de la cónica $C$
2.: La distancia entre sus focos es $4$ y están en la recta $x = 2$
3.: La distancia de un foco al vértice más cercano es $3$

1.: $C$ es una parábola de ecuación canónica ${(x - 2)}^{2} = - 8 (y + 1)$
2.: Centro de la elipse $(2, - 1)$
3.: $d (F_{1}, F_{2}) = 4 ⟹ 2 c = 4 ⟹ c = 2$
4.: $d (F_{1}, V_{1}) = 3 ⟹ a - c = 3 ⟹ a = 5$
5.: $b^{2} = 21$
6.: Ecuación canónica de la elipse: $\frac{{(x - 2)}^{2}}{21} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{25} = 1$
7.: Vértices $V_{1} = (2, 4),$ $V_{2} = (2, - 6) .$
8.: Focos $F_{1} = (2, 1),$ $F_{2} = (2, - 3) .$

Ejercicio 4.11 Determine la ecuación canónica de la elipse que satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

1.: El vértice $V_{1}$ de la elipse coincide con el foco de la parábola de ecuación ${(x - 2)}^{2} = - 4 y + 24$ .
2.: El vértice $V_{2}$ de la elipse coincide con el centro de la hipérbola de ecuación $x^{2} - 4 x - y^{2} + 2 y = - 2$ . Este centro es $(2, 1)$ .
3.: La elipse contiene el punto $(1, 2)$ .

De la información que nos dan deducimos:

1.

El foco de la parábola

{(x - 2)}^{2} = - 4 (y - 6)

V_{1} = (2, 6 - 1) = (2, 5)

pues

p = - 1 .

2.

El centro de la hipérbola

{(x - 2)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1

V_{2} = (2, 1) .

3.

Los vértices nos indican que la elipse tiene centro en

(h, k) = (2, 3)

y su ecuación canónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 .

4.

Como la elipse contiene el punto

(1, 2),

\frac{{(1 - 2)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(2 - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 ⟹ b^{2} = \frac{4}{3}

La ecuación canónica de la elipse es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{4}{3}} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{2^{2}} = 1 .

Figura 16:

Tabla de Contenidos

Cónicas
Vectores y Geometría Analítica
- Vectores en ℝ³
- Producto punto y producto cruz
- Rectas y planos
Funciones de Varias Variables
- Límites y continuidad
- Derivadas parciales
- Gradiente y direccionales
Extremos y Optimización
- Puntos críticos
- Multiplicadores de Lagrange
Integrales Múltiples
- Dobles en regiones rectangulares
- Dobles en coordenadas polares
- Triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
Cálculo Vectorial
- Campos vectoriales
- Divergencia y rotacional
- Teoremas de Green, Stokes y Gauss

Traducción LaTeX a HTML con Make4ht y JavaScritpt. W. Mora (Agosto-2025). "Generar una Web Interactica con LaTeX (usando Make4ht e IA)"

2. Elipses

2.1 La Elipse como lugar geométrico

2.2 Propiedad focal de la elipse

3. Ecuación general

3.1 Ecuación canónica

4. Ejercicios

Elipse paso a paso

Tabla de Contenidos