W. Mora-FloresRevista Matemática, educación e Internet

Cálculo Superior

3. Hipérbolas

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3. Hipérbolas

Una Hipérbola, en un plano, se puede definir de varias maneras. En nuestro caso solo consideramos una definición como "lugar geométrico" y otra definición en términos de una ecuación general.

Definición 1 (La hiperbolacomo lugar geométrico.).

En un plano, una hiperbolaes el lugar geométrico de todos los puntos $Q$ tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, $F_{1}$ y $F_{2},$ (llamados focos), es constante. Si llamamos a la constante $2 a,$ entonces

| d (Q, F_{1}) - d (Q, F_{2}) | = 2 a con 0 < 2 a < d (F_{1}, F_{2})

Figura 1: Hipérbola

Pensar | Observar

En el script que sigue,

1.: Seleccionamos y arrastramos el punto $Q$ . ¿Qué observaciones podemos anotar?
2.: Seleccionamos y arrastramos el Foco $F_{1}$ o el $F_{2}$ : ¿Qué observaciones podemos anotar?
3.: Seleccionamos y arrastramos el deslizador : ¿Qué observaciones podemos anotar?
4.: Qué pasa si $F_{1} = F_{2}$ ? (Sugerencia: haga un dibujo con los focos, y dibuje un punto $Q$ que "satisface" la definición)

Características

: El eje focal es la recta que pasa por los focos $F_{1}$ y $F_{2}$
: Los vértices $V_{1}$ y $V_{2}$ son los puntos de la hiperbolaque están en el eje focal
: El centro $O$ es el punto medio entre los focos y la distancia de los vértices al centro $O$ es $a$ , es decir, $a = d (V_{1}, O) = d (V_{2}, O)$
: Llamamos $c$ a la distancia del centro al cualquiera de los focos
: Llamamos $b$ a la altura del triángulo isósceles $△ V_{1} A V_{2}$
: El eje transversal es el segmento $\bar{V_{1} V_{2}}$ . Un "semieje transversal" es la mitad de este segmento, es decir, $a$
: El eje conjugado es el segmento $\bar{A A^{'}}$ . Un "semieje conjugado" es la mitad de este segmento y mide $b$

Figura 2: Elipse

3.1 Propiedad focal de la Hipérbola

La propiedad focal de la hiperbola establece que un rayo que incide en una de las ramas, en la dirección de su foco, se refleja en dirección del foco de la rama opuesta. Esta propiedad tiene aplicaciones en configuraciones donde se necesita redirigir haces con precisión, como en ciertos tipos de telescopios o sistemas de reflexión cruzada. o para concentrar o redirigir ondas sonoras, especialmente en auditorios o dispositivos de detección.

Pensar | Observar

El script que sigue es una animación: La luz exterior dirigida hacia un foco de la hipérbola se refleja en la rama de este foco y se dirige hacia el otro foco.

4. Ecuación general

A mediados del siglo XVII (circa 1650), Pierre de Fermat (1601-1665) inició el estudio de las cónicas (parábola, elips e hipérbola) usando coordenadas (Geometría Analítica) y en 1655 John Wallis (1616-1703) demostró, reemplazando razonamiento geométrico con razonamiento algebraico, que las "cónicas" son curvas de ecuación polinomial de grado $2$ (en $x$ y $y$ ).

Teorema 1.

Sean $A, B, C, D, E, F$ no todos nulos. La ecuación general de segundo grado de una curva $C$ es

A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0

(1)

Sea $Δ = 4 ACF - A E^{2} - B^{2} F + BDE - C D^{2}$ . Tenemos

Si $C$ es una hipérbola entonces $B^{2} - 4 AC > 0$ .
Si $Δ \neq 0$ y $B^{2} - 4 AC > 0$ entonces $C$ es una hipérbola

Que $B^{2} - 4 AC > 0$ no siempre significa que la ecuación 1 representa una hiperbola. Pero si estamos seguros que es una hiperbola, entonces si $B^{2} - 4 AC > 0$

La ecuación 1 tambíen puede ser una "cónica degenerada": Un punto, de dos rectas (paralelas o que se intersecan) o algo "indefinido" (corresponden a objetos en el "mundo de los números complejos")

La ecuación $x^{2} - 3 xy + 2 y^{2} = 0$ cumple con $B^{2} - 4 AC > 0$ , pero no es una hipérbola!. Por eso se requiere la condición $Δ \neq 0$ .

Pensar | Observar

En el script que sigue podemos cambiar los coeficientes de la ecuación general $A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0$

1.: Determinemos un valor $B \neq 0$ , tal que la representación gráfica sea una hipérbola (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!)
2.: Pruebe con varios valores $B = 0$ y con $B \neq 0$ de tal manera que obtengamos hipérbolas. Indique sus observaciones acerca del eje focal
3.: Determinemos otros $B \neq 0$ , tal que la representación gráfica no sea una hipérbola (esto depende también de los valores de los otros coeficientes!), sino una recta o un par de rectas, un punto, o indefinida.
4.: Observe que $x^{2} - 3 xy + 2 y^{2} = (x - y) (x - 2 y) = 0$ nos da dos rectas, $y = x$ y $y = \frac{x}{2} .$ ¿Será que siempre que en la ecuacion general, si $B^{2} - 4 AC > 0$ y $D = E = F = 0,$ entonces tenemos un par de rectas?

4.1 Ecuación canónica

Si en la ecuación general de una hiperbola, $B = 0,$ entonces $A \neq 0$ y $C \neq 0$ y la cónica está en "posición estándar", es decir, el eje focal es paralelo al eje x o paralela al eje y . En este caso, si el centro es $(h, k),$ podemos deducir, usando nuestra definición de hipérbola como lugar geométrico y completando cuadrados , la llamada "ecuación canónica"o natural: En esta ecuación aparece la información del centro, de los focos y la longitud de los semiejes.

La hipérbola también tiene "dos directrices", estas rectas se usan para definir la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos en los que la razón entre la distancia al foco y la distancia a cualquiera de las dos directrices es constante y mayor que $1$ ("excentricidad"). Aquí no nos ocupamos de esta definición.

Asíntotas A diferencia de las parábolas, en una hipérbola los brazos de cada rama se extienden y se aproximan cada vez más a un par de líneas rectas fijas, llamadas asíntotas. Estas rectas marcan la dirección hacia la que tiende la hiperbolaen el infinito. Las parábolas, aunque se extienden infinitamente, no lo hacen con un par de rectas como asíntotas.

Hipérbola en posición estándar: Eje focal paralelo al eje y . En este caso, si el centro es

(h, k)

y la longitud del semieje mayor es

2 a

, tenemos

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 donde {\begin{matrix} ∙ Longitud semieje transversal: a \\ ∙ Longitud semieje conjugado: b \\ ∙ Centro: (h, k) \\ ∙ Distancia del centro a un foco: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ ∙ Vértices: V_{1} = (h - a, k), V_{2} = (h + a, k) \\ ∙ Focos: F_{1} = (h - c, k), F_{2} = (h + c, k) \end{matrix}

Hipérbola en posición estándar: Eje focal paralelo al eje x . En este caso, si el centro es

(h, k)

y la longitud del semieje mayor es

2 a

, tenemos

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 donde {\begin{matrix} ∙ Longitud semieje transversal: a \\ ∙ Longitud semieje conjugado: b \\ ∙ Centro: (h, k) \\ ∙ Distancia del centro a un foco: c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ ∙ Vértices: V_{1} = (h, k + a), V_{2} = (h, k - a) \\ ∙ Focos: F_{1} = (h, k + c), F_{2} = (h, k - c) \end{matrix}

En resumen,

a

siempre se refiere a la longitud del semieje transversal. En ambos casos,

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Figura 3: Elipses con elfocal paralelo al eje x y al eje y

Ejemplo 1.

Considere la hipérbola cuya ecuación es $- 2 x^{2} + 5 y^{2} - 4 x + 10 y + 5 = 0 .$ Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices y las asíntotas y realizar la gráfica.

Solución.

$\begin{matrix} Ecuación original: & - 2 x^{2} - 4 x + 5 y^{2} + 10 y + 5 = 0 \\ Agrupar y pasar el término constante a la derecha: & - 2 x^{2} - 4 x + 5 y^{2} + 10 y = - 5 \end{matrix}$

Ahora completar cuadrados

\begin{matrix} - 2 {(x + 1)}^{2} + 2 + 5 {(y + 1)}^{2} - 5 & = & - 5 \\ Pasar sumandos numéricos \\ - 2 {(x + 1)}^{2} + 5 {(y + 1)}^{2} & = & - 2 \\ Dividimos por - 2 \\ \frac{2 {(x + 1)}^{2}}{2} - \frac{5 {(y + 1)}^{2}}{2} & = & 1 \\ Ecuación canónica \\ \frac{{(x + 1)}^{2}}{1} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{2 ∕ 5} & = & 1 . \end{matrix}

Tenemos ${\begin{matrix} a^{2} & = & 1 ⟹ a = 1 \\ b^{2} & = & \frac{2}{5} ⟹ b = \sqrt{\frac{2}{5}} \end{matrix}$

Por tanto, abre en dirección del eje x (el eje focal es paralelo al eje x)

{\begin{matrix} ∙ El centro está en (- 1, - 1) \\ ∙ Vértices: (- 1 - 1, - 1), (- 1 + 1, - 1) \\ ∙ Focos: (- 1 - \sqrt{\frac{7}{5}}, - 1), (- 1 + \sqrt{\frac{7}{5}}, - 1) \end{matrix}

Figura 4:

Ejemplo 2.

Identifique y trace la gráfica de la cónica de ecuación $4 y^{2} - 9 x^{2} + 36 x - 24 y - 36 = 0,$ indicando centro, vértices, focos, asíntotas e intersección con los ejes.

Solución. Completando cuadrados obtenemos

\begin{matrix} - 9 x^{2} + 36 x + 4 y^{2} - 24 y - 36 & = & 0 \\ - 9 x^{2} + 36 x + 4 y^{2} - 24 y & = & 36 \\ - 9 {(x - 2)}^{2} + 36 + 4 {(y - 3)}^{2} - 36 & = & 36 \end{matrix}

Dividiendo por $36$ y simplificando, la ecuación canónica queda

\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1

Se trata de un hipérbola con eje transversal vertical y centro en $(2, 3) .$

$∙$: Como $a = 3$ y $b = 2$ entonces $c = \sqrt{13} .$
$∙$: Los vértices son $V_{1} = (2, 0)$ y $V_{2} = (2, 6)$
$∙$: Los focos son $F_{1} = (2, 3 - \sqrt{13})$ y $F_{2} = (2, 3 + \sqrt{13}) .$
$∙$: Las intersecciones con los ejes: $y \approx - 1.24,$ $y \approx 7.24$ y $x = 2 .$

Figura 5:

Ejemplo 3.

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en $(3, - 5)$ y $(3, 1)$ y asíntotas $y = 2 x - 8$ y $y = - 2 x + 4 .$ Además calcule los focos y realice la gráfica.

Solución. Como los vértices son

(3, - 5)

(3, 1),

el centro es

(3, - 2)

. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y,

a = 3

. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas,

m_{1} = 2 = \frac{a}{b} ⟹ b = \frac{a}{2} ⟹ b = \frac{3}{2}

Por tanto, la ecuación canónica es

\frac{{(y + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{\frac{9}{4}} = 1

Figura 6:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ c^{2} = \frac{45}{4} ⟹ c = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Los focos están en $(3, - 2 - \frac{3 \sqrt{5}}{2})$ y $(3, - 2 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}) .$

Las intersecciones con el eje y son $y \approx - 8.70,$ $y \approx 4.70 .$

5. Ejercicios

Ejercicio 5.1 Análisis de una hipérbola aleatoria

1.

Generación de la ecuación:

Presionar el botón “Ejercicio” genera una ecuación general de una hipérbola (sin rotación).

2.

Tareas requeridas:

(a)

Transformar la ecuación a su forma canónica.

(b)

Calcular:

Centro $(h, k)$
Longitud de semieje mayor y semieje menor y distancia del centro a cada foco
Vértices $V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}$
Focos $F_{1}, F_{2}$

(c)

Graficar con:

$V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}$
$F_{1}, F_{2}$
Instersección con ejes $x$ y/o $y$ , si hubiera

3.

Verificación:

Usar el botón “Respuesta” solo para contrastar con tu solución completa.

Ejercicio 5.2 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con focos en

(1, 4)

(1, - 4)

y con

a = 3 .

La ecuación canónica es

\frac{y^{2}}{9} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{7} = 1 .

Ejercicio 5.3 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con centro en

(- 4, 1)

y un vértice en

(2, 1)

y semieje conjugado de longitud

4 .

El centro es

(- 4, 1) .

a = 6

b = 4 .

La ecuación canónica es

\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 .

Ejercicio 5.4 Determine la ecuación canónica de la hipérbola que contiene al punto

(4, 6)

y cuyas asíntotas son

y = \pm \sqrt{3} x

Como

\sqrt{3} \cdot 4 > 6,

la asíntota

y = \sqrt{3} x

va por arriba del punto

(4, 6) .

Esto nos dice que la ecuación de la hipérbola es

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Como $(4, 6)$ está en la hipérbola y como $b^{2} = 3 a^{2},$ entonces

\frac{16}{a^{2}} - \frac{36}{3 a^{2}} = 1 ⟹ a = 4 .

Así, la ecuación canónica es

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1 .

Ejercicio 5.5 Determine la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y que contiene los puntos

(3, 1)

(9, 5) .

La opción que sirve es

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .

Evaluando los puntos se obtiene que la ecuación canónica es

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1 .$

La opción $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ se descarta pues evaluando los puntos se obtiene $a^{2} = - 6$ .

Ejercicio 5.6 Determine la ecuación canónica y realice la representación gráfica de la hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje x el centro es

(2, 0),

una asíntota tiene ecuación

y = 2 x - 4

y un foco está a una distancia de

\sqrt{5}

unidades del centro.

Según los datos, la ecuación de la cónica es

\frac{{(x - 2)}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Como una asíntota es $y = 2 x - 4 ⟹ \frac{b}{a} = 2,$ entonces tenemos

{\begin{matrix} \frac{b}{a} & = & 2 \end{matrix} ⟹ a = 1 \land b = 2

∴ \frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{4} = 1

Figura 7:

Ejercicio 5.7 Determine la ecuación canónica de de la hipérbola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones,

1.: El centro de la hipérbola coincide con el vértice de la parábola de ecuación $y^{2} - 2 y + 8 x + 17 = 0 .$
2.: Uno de sus focos se ubica en $(3, 1)$
3.: Uno de sus vértices se ubica en $(1, 1) .$

Realice la gráfica e indique sus principales características.

La parábola tiene ecuación canónica

{(y - 1)}^{2} = - 8 (x + 2),

por tanto el centro de la hipérbola es

(- 2, 1) .

Como un foco esta en $(3, 1)$ y un vértice esta en $(1, 1),$ el eje transversal es paralelo al eje $X,$ $a = 3,$ $c = 5$ y $b = 4 .$ La ecuación canónica es

\frac{{(x + 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1 .

Sus focos son $(3, 1), (- 7, 1)$ y sus vértices $(1, 1), (- 5, 1) .$

Las asíntotas son $y = \pm \frac{4}{3} (x + 2) + 1 .$

La hipérbola interseca al eje $X$ en $x \approx - 5.093$ y $x \approx 1.0933 .$

Figura 8:

Ejercicio 5.8 En este ejercicio tenemos una ecuación canónica con un parámetro

k

. Determine el tipo de cónica representada por la ecuación

\frac{x^{2}}{k} + \frac{y^{2}}{k - 16} = 1

de acuerdo a las condiciones sobre el parámetro que se indican.

1.: Si $k > 16$
2.: Si $0 < k < 16$
3.: Si $k < 0$

1.: Como $k > 0$ y $k - 16 > 0,$ se trata de una elipse.
2.: Como $k > 0$ y $k - 16 < 0,$ se trata de una hipérbola.
3.: Como $k < 0$ y $k - 16 < 0,$ la ecuación no tiene solución en $ℝ$

Ejercicio 5.9 Determine la ecuación canónica y las características de la cónica que contiene a los puntos

P = (x, y)

para los cuales

| d (P, A) - d (P, B) | = 2

donde

A = (- 3, 0)

B = (- 3, 3) .

Realizar la gráfica.

Se trata de un hipérbola con focos

A

B

y por tanto

c = 1.5

y el centro es

(h, k) = (- 3, \frac{3}{2})

. Como

| d (P, F_{1}) - d (P, F_{2}) | = 2 a

entonces

a = 1 .

y entonces

b^{2} = \frac{5}{4}

Luego ecuación canónica es

\frac{{(y - \frac{3}{2})}^{2}}{1} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{5 ∕ 4} = 1

Las asíntotas son $y = \pm \frac{1}{\sqrt{5 ∕ 4}} (x + 3) + 3 ∕ 2 .$

La intersección con los ejes son $y \approx - 1.363,$ $y \approx 4.363,$ $x \approx - 4.25$ y $x \approx - 1.75,$

Figura 9:

Ejercicio 5.10 En la definición de la hipérbola como un lugar geométrico se indica que

2 a < d (F_{1}, F_{2})

. ¿Qué pasa si

2 a \geq d (F_{1}, F_{2})

Se omite

Tabla de Contenidos

Cónicas
Vectores y Geometría Analítica
- Vectores en ℝ³
- Producto punto y producto cruz
- Rectas y planos
Funciones de Varias Variables
- Límites y continuidad
- Derivadas parciales
- Gradiente y direccionales
Extremos y Optimización
- Puntos críticos
- Multiplicadores de Lagrange
Integrales Múltiples
- Dobles en regiones rectangulares
- Dobles en coordenadas polares
- Triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
Cálculo Vectorial
- Campos vectoriales
- Divergencia y rotacional
- Teoremas de Green, Stokes y Gauss

Traducción LaTeX a HTML con Make4ht y JavaScritpt. W. Mora (Agosto-2025). "Generar una Web Interactica con LaTeX (usando Make4ht e IA)"

3. Hipérbolas

3.1 Propiedad focal de la Hipérbola

4. Ecuación general

4.1 Ecuación canónica

5. Ejercicios

Hipérbola paso a paso

Tabla de Contenidos