Rectas

3. Rectas

3..1 Ecuación vectorial de una recta.

Consideremos la recta $L$ que pasa por $P$ y va en la dirección del vector $v \neq 0 .$ Los puntos de la recta se obtienen como una suma $P + t v .$ En lo que sigue asumimos que la dirección de una recta no es el vector nulo.

Fig. 1.52:

L (t) = P + t v, t \in ℝ

Fig. 1.53:

Q = L (t_{0}) = P + t_{0} v

Definición 9 — Ecuación vectorial de una recta.

Una ecuación vectorial de una recta $L$ que pasa por $P$ y va en la dirección del vector $v \neq 0$ es

L : P + t v o también L (t) = P + t v, t \in ℝ

La ecuación vectorial de

L

no es única.

P

puede ser cualquier punto

P^{'}

de la recta y podemos tomar como dirección otro vector

v^{'}

paralelo a

v .

Pero usando el parámetro

t

, la recta

L

con

L (t) = P + t v,

se recorre de manera distinta que con

L (t) = P^{'} + t v^{'}

1: Si $Q \in L,$ entonces existe $t_{0} \in ℝ$ tal que $Q = P + t_{0} v .$
2: Si $L (t) = A + t v$ entonces $L (0) = A$
3: Si $A = L (t_{0})$ y $B = L (t_{1})$ , entonces $BA | | v$
4: Una ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ es $L (t) = A + t BA, t \in ℝ$

Fig. 1.54:

1

El segmento que va de

A

hasta

B

se puede especificar de manera paramétrica como

L (t) = A + t BA, t \in [0, 1]

a: $L (0) = A$
b: $L (1) = B$
c: $L (1 / 2) = \frac{A + B}{2}$ (punto medio)

Fig. 1.55:

Ejemplo31

1: Determine la ecuación vectorial de la recta $L$ que pasa por $A = (- 1, 2, 1)$ y $B = (0, - 1, 2)$
2: ¿ $Q = (1, - 4, 3) \in L$ ?
3: Determine el o los puntos $R \in L$ tal que $d (R, A) = \sqrt{11}$

Solución.

1

Una ecuación vectorial para la recta

L

que pasa por

A = (- 1, 2, 1)

B = (0, - 1, 2)

L (t) = A + t BA = A + t (1, - 3, 1), t \in ℝ

2

Q = (1, - 4, 3) \in L

si y solo si la ecuación

(1, - 4, 3) = A + t (1, - 3, 1)

tiene solución.

$\begin{matrix} (1, - 4, 3) & = & A + t (1, - 3, 1) \\ (1, - 4, 3) & = & (- 1, 2, 1) + t (1, - 3, 1) \\ (1, - 4, 3) & = & (- 1 + t, 2 - 3 t, 1 + t) \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 1 & = & - 1 + t \\ - 4 & = & 2 - 3 t \\ 3 & = & 1 + t \end{matrix} ⟹ t = 2$

$∴ Q \in L$ pues $Q = L (2) .$

3

Como

R \in L,

sea

R = L (t_{0}) .

Entonces

$\begin{matrix} d (R, A) & = & \sqrt{11} \\ | | L (t_{0}) - A | | & = & \sqrt{11} \\ | | A + t_{0} (1, - 3, 1) - A | | & = & \sqrt{11} \\ | | t_{0} (1, - 3, 1) | | & = & \sqrt{11} \\ \sqrt{t_{0}^{2} + 9 t_{0}^{2} + t_{0}^{2}} & = & \sqrt{11} ⟹ \sqrt{11 t_{0}^{2}} = \sqrt{11} ⟹ t_{0} = \pm 1 \end{matrix}$

$∴ R = L (1) = (0, - 1, 2) o también R = L (- 1) = (- 2, 5, 0) .$

3..2 Ecuación paramétrica y ecuaciones simétricas de una recta.

La ecuación de una recta se puede representar de varias maneras. Una es a veces mejor que la otra.

Una ecuación paramétrica de una recta, expresa sus componentes en términos de un parámetro. Más adelante veremos que una interpretación conveniente de una ecuación paramétrica es que describe "la velocidad de cada componente" respecto al tiempo $t .$

En $ℝ^{3}$ la ecuación simétrica de una recta nos dice que ésta se caracteriza por tener una relación lineal entre sus componentes (no constantes), es decir, nos dice que en una recta, aunque las componentes $x, y$ y $z$ cambian, mantienen una relación directamente proporcional. De igual manera, en $ℝ^{2}$ las rectas se caracterizan por tener una relación lineal entre sus componentes, $\frac{(y - b)}{m} = x .$

Definición 10 — Ecuación paramétrica. Ecuaciones simétricas.

Si $L$ es una recta que pasa por $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ en la dirección de $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) .$ entonces

1: Una ecuación vectorial de $L$ es $(x, y, z) = P + t v, t \in ℝ .$
2: Despejando $x, y y z,$ obtenemos una ecuación parámetrica de $L :$ ${\begin{matrix} x (t) & = & p_{1} + t \cdot v_{1} \\ y (t) & = & p_{2} + t \cdot v_{2} \\ z (t) & = & p_{3} + t \cdot v_{3} \end{matrix}$

Frecuentemente escribimos $L (t) = P + t v, t \in ℝ .$
3: Si cada $v_{i} \neq 0$ , despejando $”t”$ obtenemos las ecuaciones simétricas de $L$ : $\frac{x - p_{1}}{v_{1}} = \frac{y - p_{2}}{v_{2}} = \frac{z - p_{3}}{v_{3}}$

Ejemplo32

1

Determine una ecuación vectorial, paramétrica y simétrica para la recta

L_{1}

que pasa por

P = (1, 3, - 2)

Q = (2, 1, - 2)

Solución. En este caso $v = Q - P = (1, - 2, 0)$ , luego

a

Una ecuación vectorial

L_{1} : (x, y, z) = (1, 3, - 2) + t (1, - 2, 0)

b

Ecuaciones parámetricas. Como

$(x (t), y (t), z (t)) = (1, 3, - 2) + t (1, - 2, 0)$ entonces,

$L : {\begin{matrix} x (t) & = & 1 + t, \\ y (t) & = & 3 - 2 t, \\ z (t) & = & - 2 . \end{matrix}$

c

Ecuaciones simétricas. Tenemos

$L : {\begin{matrix} x (t) & = & 1 + t ⟹ t = \frac{x - 1}{1} \\ y (t) & = & 3 - 2 t ⟹ t = \frac{y - 3}{- 2} \\ z (t) & = & - 2 ⟹ z = - 2 \end{matrix}$

Entonces

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2}; z = - 2 .$

2

Consideremos la recta

L_{2}

de ecuaciones simétricas

\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = z - 1 .

Determine una ecuación vectorial

Solución. $L_{2}$ va en la dirección de $v = (3, 2, 1) .$ $∴ L_{2} (t) = (- 1, - 2, 1) + t (3, 2, 1)$

Ejemplo33

¿Podría una recta $L$ tener ecuaciones paramétricas ${\begin{matrix} x (t) & = & 1 - {tan}^{2} t \\ y (t) & = & 3 + 4 {tan}^{2} t \\ z (t) & = & - 2 + 7 {sec}^{2} t \end{matrix}$ ?

Solución. Sí, pues hay una relación lineal entre las componentes $x, y$ y $z$ de la recta. En efecto,

${\begin{matrix} \frac{x (t) - 1}{- 1} & = & \frac{1 - {tan}^{2} t - 1}{- 1} & = & {tan}^{2} t \\ \frac{y (t) - 3}{4} & = & \frac{3 + 4 {tan}^{2} t - 3}{4} & = & {tan}^{2} t \\ \frac{z (t) - 5}{7} & = & \frac{- 2 + 7 {sec}^{2} t - 5}{7} & = & {tan}^{2} t \end{matrix}$

∴ L : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{7}

3..3 Rectas: Ángulo, paralelismo y perpendicularidad.

Definición 11.

Sean $v$ y $w$ no nulos. Consideremos dos rectas,

L_{1} : (x, y, z) = P + t v; t \in ℝ \land L_{2} : (x, y, z) = Q + s w; s \in ℝ

1: $L_{1} ∥ L_{2}$ si y sólo si $v ∥ w$
2: $L_{1} ⊥ L_{2}$ si y sólo si $v ⊥ w$
3: El ángulo entre $L_{1}$ y $L_{2}$ es el ángulo entre $v$ y $w$

Fig. 1.56:

L_{1} ∥ L_{2}

Fig. 1.57:

L_{1} ⊥ L_{2}

Fig. 1.58:

𝜃 = ∠ L_{1}, L_{2}

Ejemplo34

Consideremos las rectas de ecuación

$L_{1} (t) = (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0),$

$L_{2} (t) = (1, 3, - 2) + t (8, 2, 0)$

$L_{3} (t) = (0, 2, - 1) + t (- 1, 4, 3)$ .

1: $L_{1}$ es paralela a la recta $L_{2} :$ pues $(8, 2, 0) = 2 (4, 1, 0)$
2: $L_{1}$ es perpendicular a la recta $L_{3} :$ pues $(- 1, 4, 3) \cdot (4, 1, 0) = 0$

3..4 Intersección.

Como es natural, dos rectas en $ℝ^{3}$ pueden coincidir en su totalidad, en un solo punto o no intersecarse.

Consideremos las rectas

$L_{1} (t) = (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0),$

$L_{2} (t) = (- 13, - 3, - 2) + t (12, 6, 3)$ .

Estas rectas se intercan en $Q = (- 1, 3, 1)$ pues este punto pertence a ambas rectas.

${\begin{matrix} (- 1, 3, 1) & = & L_{1} (0) = (- 1, 3, 1) + 0 \cdot (4, 1, 0) \\ (- 1, 3, 1) & = & L_{2} (1) = (- 13, - 3, - 2) + 1 \cdot (12, 6, 3) \end{matrix}$

Lo que dice este ejemplo, es que si dos rectas se intersecan en un punto, posiblemente el punto se obtenga con diferente valor del parámetro en cada recta. Entonces para determinar puntos de intersección debemos resolver con distintos parámetros.

Intersección entre rectas.

Consideremos las rectas

$L_{1} (t) = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) + t v, t \in ℝ$

$L_{2} (s) = (q_{1}, q_{2}, q_{3}) + s w, s \in ℝ$

Para determinar si estas rectas se intersecan, igualamos estas ecuaciones vectoriales,

P + t v = Q + s w \Rightarrow {\begin{matrix} t v_{1} - s w_{1} & = & q_{1} - p_{1} \\ t v_{2} - s w_{2} & = & q_{2} - p_{2} \\ t v_{3} - s w_{3} & = & q_{3} - p_{3} \end{matrix}

Si $L_{1}$ y $L_{2}$ se intersecan en un único punto $Q$ , entonces $Q = L_{1} (t_{0}) = L_{2} (s_{0})$ donde $(t_{0}, s_{0})$ es la solución del sistema anterior.

Ejemplo35

Consideremos las rectas de ecuación

$L_{1} (t) = (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0)$

$L_{2} (t) = (- 5, 2, 1) + t (- 2, - 3, 0)$

$L_{3} (t) = (0, 2, - 1) + t (- 1, 4, 3)$

1

Determine si

L_{1}

interseca a

L_{2} .

Solución.

$\begin{matrix} L_{1} (t) = L_{2} (s) & ⟹ & (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0) = (- 5, 2, 1) + s (- 2, - 3, 0) \\ ⟹ & (- 1 + 4 t, 3 + t, 1) = (- 5 - 2 s, 2 - 3 s, 1) \\ ⟹ & {\begin{matrix} - 1 + 4 t & = & - 5 - 2 s \\ 3 + t & = & 2 - 3 s \\ 1 & = & 1 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} 2 s + 4 t & = & - 4 \\ 3 s + t & = & - 1 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} t & = & - 1 \\ s & = & 0 \end{matrix} \end{matrix}$

$∴$ Las rectas se intersecan en $Q = L_{1} (- 1) = L_{2} (0) = (- 5, 2, 1) .$

2

Determine si

L_{1}

interseca a

L_{3} .

Solución.

$\begin{matrix} L_{1} (t) = L_{3} (s) & ⟹ & (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0) = (0, 2, - 1) + s (- 1, 4, 3) \\ ⟹ & (- 1 + 4 t, 3 + t, 1) = (- s, 2 + 4 s, - 1 + 3 s) \\ aplicando "sustitución hacia atrás" \\ ⟹ & {\begin{matrix} - 1 + 4 t & = & - s ⟹ \frac{17}{3} \neq - \frac{2}{3}! (3) \\ 3 + t & = & 2 + 4 s ⟹ t = \frac{5}{3} (2) \\ 1 & = & - 1 + 3 s ⟹ s = \frac{2}{3} (1) \end{matrix} \end{matrix}$

∴

El sistema es inconsistente, las rectas no se intersecan.

Fórmula "computacional" para la intersección. Computacionalmente es mejor no resolver sistemas.

Dos rectas $L_{1} (t) = P + t v y L_{2} (t) = Q + t u$ , se intersecan en un punto si las rectas no son paralelas y viven en el mismo plano, es decir, se tienen que intersecar en un punto.

En la siguiente Subsección 3..3..5 se determina una fórmula para la distancia mínima entre dos rectas. Si esta distancia es cero, entonces las rectas se intersecan en al menos un punto, y esto sucede si $(v \times u) \cdot PQ = 0 .$

Fórmula para la intersección entre rectas.

Sean

L_{1} (t) = P + t v L_{2} (t) = Q + t u

rectas no paralelas, es decir,

v \times u \neq 0,

Entonces $L_{1} (t) y L_{2} (s)$ se intersecan si y solo si

(v \times u) \cdot PQ = 0 (viven en el mismo plano)

y el punto $I$ de intersección viene dado por

I = P + t_{0} v con t_{0} = \frac{[| | u | |^{2} v - (v \cdot u) u] \cdot (Q - P)}{| | u \times v | |^{2}}

(1.5)

Para implementar esta fórmula en un algoritmo de gráficos por computadora, se acostumbra optimizar calculando únicamente productos punto. Si definimos el vector auxiliar

w = Q - P

y los escalares:

\begin{array}{l} a & = v \cdot v \\ b & = v \cdot u \\ c & = u \cdot u \\ d & = v \cdot w \\ e & = u \cdot w \end{array}

Aplicando la Identidad de Lagrange en el denominador, $| | u \times v | |^{2} = | | u | |^{2} | | v | |^{2} - {(u \cdot v)}^{2}$ , el valor del parámetro $t_{0}$ se reduce a:

t_{0} = \frac{cd - be}{ac - b^{2}}

Esta forma evita calcular el producto cruz y reduce significativamente el número de operaciones aritméticas.

Ejemplo36(Cálculo computacional).

Consideremos las rectas de ecuación $L_{1} (t) = (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0),$ $L_{2} (t) = (- 5, 2, 1) + t (- 2, - 3, 0)$ y $L_{3} (t) = (0, 2, - 1) + t (- 1, 4, 3)$ .

1

Determine si

L_{1}

interseca a

L_{2}

y de ser así, determine el punto de intersección.

Solución. Usamos (1.5). $P = (- 1, 3, 1), v = (4, 1, 0), Q = (- 5, 2, 1), u = (- 2, - 3, 0)$

a: Las rectas se intersecan pues $v \times u = (0, 0, 10) \neq 0$ y $(v \times u) \cdot (- 4, - 1, 0) = 0 .$
b: $t_{0} = \frac{[| | u | |^{2} v - (v \cdot u) u] \cdot (Q - P)}{| | u | |^{2} | | v | |^{2} - {(u \cdot v)}^{2}} = - 1$
c: Punto de intersección $I = P + t_{0} v = (- 5, 2, 1)$

2

Determine si

L_{1}

interseca a

L_{3}

y de ser así, determine el punto de intersección.

Solución. Usamos (1.5). $P = (- 1, 3, 1), v = (4, 1, 0), Q = (0, 2, - 1), u = (- 1, 4, 3)$

Las rectas no son paralelas pues $v \times u = (- 3, 12, - 17) \neq 0$ pero $(v \times u) \cdot (1, - 1, - 2) = 19 \neq 0,$ así que no se intersecan.

3..5 Distancia de un punto a una recta.

Consideremos la recta $L (t) = P + t u .$

Queremos calcular la distancia mínima de un punto $Q$ a $L$ y, también el punto $Q^{'} \in L$ en el que se alcanza este mínimo.

Por supuesto, la distancia mínima es la longitud del segmento perpendicular que va desde $Q$ a $L .$

Fig. 1.59:

d (Q, L)

Si $𝜃 = ∠ PQ, u,$ entonces $| | PQ \times u | | = | | u | | | | PQ | | sen 𝜃$ y como $sen 𝜃 = \frac{h}{| | PQ | |},$ entonces

h = d (Q, L) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |}

Usando proyecciones: la distancia mínima de $Q$ a la recta es $L$ se alcanza en $Q^{'} = P + {proy}_{u}^{PQ} .$

Distancia de un punto a una recta.

Sea

L (t) = P + t u, t \in ℝ

Q^{'} = P + {proy}_{u}^{PQ} \in L .

Entonces,

1

d (Q, L)

d (Q, L) = d (Q^{'}, Q) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |}

(1.6)

2

Criterio:

Q \in L

Q \in L si y solo si | | PQ \times u | | = 0, es decir, QP ∥ u

Ejemplo37

Consideremos la recta

L (t) = (2, 0, 1) + t \cdot (0, 2, 1)

Q = (2, 2, 5)

Observe que $P = (2, 0, 1)$ y $u = (0, 2, 1) .$ Entonces,

1

d (Q, L) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |} = \frac{| | (- 6, 0, 0) | |}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}

2

La distancia mínima se alcanza en

Q^{'} = P + {proy}_{u}^{PQ} = (2, \frac{16}{5}, \frac{13}{5}) \in L .

3

R = (2, 1, 3 / 2) \in L

pues

d (R, L) = 0

. En efecto,

$\begin{matrix} (R - P) \times u & = & (2, 1, 3 / 2) \times (0, 2, 1) \\ = & (0, 0, 0) \end{matrix}$

Fig. 1.60:

d (Q, L)

3..6 Distancia entre rectas.

Dadas dos rectas $L_{1}$ y $L_{2},$ la distancia mínima entre ellas se alcanza en un punto $D_{1} \in L_{1}$ y en un punto $D_{2} \in L_{2},$ es decir,

d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2}) donde d (D_{1}, D_{2}) \leq d (P^{'}, Q^{'}) para todo P^{'} \in L_{1} y Q^{'} \in L_{2}

Como se trata de una distancia mínima, entonces el vector $D_{1} D_{2}$ debe ser perpendicular a ambas rectas.


$d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2})$		$d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2})$ con $L_{1} ∥ L_{2}$

Fig. 1.61: Distancia entre rectas

Podemos determinar la distancia entre estas rectas de manera algebraica. Tenemos dos casos, ya sea que las rectas sean paralelas o no.

Se trata de determinar los puntos $D_{1} \in L_{1}$ y $D_{2} \in L_{2}$ tal que $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2}) .$

a: Tenemos dos rectas $L_{1} (t) = P + t v$ y $L_{2} (t) = Q + t u, t \in ℝ,$
b: Sea $D_{1} \in L_{1}$ y $D_{2} \in L_{2}$ con $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2}) .$
c: Sea $D_{1} = P + t_{0} v y D_{2} = Q + s_{0} u$
d: Sea $n = u \times v$

1

Caso: Rectas no paralelas. En este caso,

n = u \times v \neq 0 .

Vamos a calcular

d (D_{1}, D_{2}) = | | D_{2} - D_{1} | | .

Primero observamos que

D_{2} - D_{1}

n

son paralelos porque ambos son perpendiculares a las rectas.

\begin{matrix} D_{2} - D_{1} & = & λ \cdot n \\ Para despejar λ multiplicamos por n a ambos lados \\ para obtener una ecuación numérica \\ n \cdot (\underset{D_{2}}{\underset{⏟}{Q + s_{0} u}} - \underset{D_{1}}{\underset{⏟}{P - t_{0} v}}) & = & λ \cdot n \cdot n \\ n \cdot (Q - P) & = & λ | | n | |^{2} \\ \frac{n \cdot (Q - P)}{| | n | |^{2}} & = & λ \end{matrix}

Fig. 1.62:

D_{2} - D_{1} = λ n

Entonces

d (L_{1}, L_{2}) = | | D_{2} - D_{1} | | = | | λ n | | = \frac{| n \cdot (Q - P) |}{| | n | |^{2}} | | n | |

2

Caso: Rectas paralelas. Como vimos en la Subsección 3..3..5,

d (L_{1}, L_{2}) = d (L_{1}, Q) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |}

o también, como

v = α u,

d (L_{1}, L_{2}) = d (P, L_{2}) = \frac{| | PQ \times v | |}{| | v | |}

Distancia entre rectas

Sean

L_{1} (t) = P + t v

L_{2} (t) = Q + t u, t \in ℝ,

n = u \times v .

a: Si $L_{1} ∦ L_{2},$ la distancia mínima entre estas rectas es $d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| n \cdot (Q - P) |}{| | n | |}$
b: Si $L_{1} ∥ L_{2},$ la distancia mínima entre estas rectas es $d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| | PQ \times v | |}{| | v | |}$

Fórmula computacional. Distancia y punto de intersección. En la Subsección 3..?? vamos a establecer que si tenemos dos rectas no paralelas

L_{1}

L_{2},

hay dos planos paralelos que contienen estas rectas y que la distancia mínima entre estas dos rectas es igual a la distancia entre estos planos. Por ahora vamos a deducir una fórmula para la distancia entre rectas usando un cálculo algebraico. Con la fórmula de la distancia, deducimos también una fórmula para el punto de intersección de dos rectas no paralelas que viven en el mismo plano.

Se trata de determinar los puntos $D_{1} \in L_{1}$ y $D_{2} \in L_{2}$ tal que $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2}) .$ Como antes,

a: Tenemos dos rectas $L_{1} (t) = P + t v$ y $L_{2} (t) = Q + t u, t \in ℝ,$
b: Sea $D_{1} \in L_{1}$ y $D_{2} \in L_{2}$ con $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2}) .$
c: Sea $D_{1} = P + t_{0} v y D_{2} = Q + s_{0} u$
d: Sea $n = u \times v$

1

L_{1}

L_{2}

no son paralelas entonces

$u \times v \neq 0,$

es decir,

$| | u | |^{2} | | v | |^{2} - {(u \cdot v)}^{2} = | | v \times u | |^{2} \neq 0$ (identidad de Lagrange).

Como la mínima distancia se alcanza en estos puntos $D_{1}, D_{2},$ el vector $w = D_{1} D_{2}$ es perpendicular a ambas rectas, es decir,

{\begin{matrix} u \cdot w & = & 0 \\ v \cdot w & = & 0 \end{matrix}

Expandiendo, tenemos un sistema lineal con incognitas

$t_{0}$ y $s_{0},$

$\begin{matrix} {\begin{matrix} u \cdot (P + t_{0} v - Q - s_{0} u) & = & 0 \\ v \cdot (P + t_{0} v - Q - s_{0} u) & = & 0 \end{matrix} & ⟹ & {\begin{matrix} t_{0} u \cdot v - s_{0} u \cdot u & = & u \cdot Q - u \cdot P \\ t_{0} v \cdot v - s_{0} v \cdot u & = & v \cdot Q - v \cdot P \end{matrix} \end{matrix}$

Aplicamos regla de Cramer

$\begin{matrix} {\begin{matrix} t_{0} & = & - \frac{u \cdot u v \cdot P - u \cdot u v \cdot Q - u \cdot P v \cdot u + u \cdot Q v \cdot u}{| | u | |^{2} | | v | |^{2} - {(u \cdot v)}^{2}} \\ s_{0} & = & - \frac{u \cdot v v \cdot P - u \cdot v v \cdot Q - u \cdot P v \cdot v + u \cdot Q v \cdot v}{| | u | |^{2} | | v | |^{2} - {(u \cdot v)}^{2}} \end{matrix} \\ Simplificamos, \end{matrix}$

2

L_{1}

L_{2}

son paralelas, hay una infinidad de puntos donde se alcanza la distancia mínima. Podemos tomar

D_{1} = P

entonces, de acuerdo con la Subsección 3..3..5,

D_{2} = Q + {proy}_{v}^{P - Q}

Distancia entre rectas. Dadas dos rectas

L_{1} (t) = P + t v

L_{2} (t) = Q + t u, t \in ℝ

y si

n = u \times v,

tenemos

1

L_{1} ∦ L_{2},

es decir,

n \neq 0,

entonces

a: $d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| (Q - P) \cdot n |}{| | n | |}$ .
b: $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2})$ donde (usando la identidad de Lagrange)

$D_{1} = P + t_{0} v y D_{2} = Q + s_{0} u, con {\begin{matrix} t_{0} & = & \frac{[| | u | |^{2} v - (v \cdot u) u] \cdot (Q - P)}{| | n | |^{2}} \end{matrix}$

2

L_{1} ∦ L_{2},

es decir,

n \neq 0,

y si

d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| (Q - P) \cdot n |}{| | n | |} = 0,

entonces las rectas se intersecan en el punto

$I = P + t_{0} v$ con $t_{0} = \frac{[| | u | |^{2} v - (v \cdot u) u] \cdot (Q - P)}{| | n | |^{2}}$

3

L_{1} ∥ L_{2},

es decir,

n = 0,

entonces

a: $d (L_{1}, L_{2}) = d (P, L_{2}) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |} (= \frac{| | PQ \times v | |}{| | v | |}, pues u = α v)$
b: $d (L_{1}, L_{2}) = d (D_{1}, D_{2})$ donde $D_{1} = P$ y $D_{2} = Q + \frac{v \cdot (P - Q)}{| | v | |^{2}} v$

También $D_{1} = Q$ y $D_{2} = P + \frac{u \cdot (Q - P)}{| | u | |^{2}} u$

Ejemplo38

1

Sea

s \in ℝ,

Q = (0, s - 2, 4 - s)

L (t) = (0, 1, 1) + t (0, - 1, 1) .

Calcule

d (Q, L) .

Q \in L

Solución. $d (Q, L) = 0$ por lo que $Q \in L_{6} .$ En efecto, $Q - P = (0, s - 3, 3 - s)$ y $u = (0, - 1, 1) .$ Entonces,

$(0, s - 3, 3 - s) \times (0, - 1, 1) = \begin{matrix} i & j & k & i & j \\ 0 & s - & - s & 0 & s - \\ 0 & - 1 & 1 & 0 & - 1 \end{matrix} = (s - 3 - (s - 3), 0, 0)$

Entonces

d (Q, L) = \frac{| | PQ \times (0, - 1, 1) | |}{| | (0, - 1, 1) | |} = 0

2

Calcule la distancia entre las rectas

L_{1} (t) = (2, 0, 3) + t (0, 1, 1)

L_{2} : \frac{x}{3 / 2} = \frac{y - 6}{- 1} = z - 1 .

Si se intersecan, calcule el punto de intersección.

Solución. $L_{2} (t) = (0, 6, 1) + t (3 / 2, - 1, 1)$ y $n = (0, 1, 1) \times (3 / 2, - 1, 1) = (- 2, - 3 / 2, 3 / 2) .$ Entonces

$d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| (Q - P) \cdot n |}{| | n | |} = \frac{| (- 2, 6, - 2) \cdot (- 2, - 3 / 2, 3 / 2) |}{| | (- 2, - 3 / 2, 3 / 2) | |} = \sqrt{2 / 17}$

3

Calcule la distancia entre las rectas

L_{3} (t) = (2, 0, 3) + t (0, 1, 1)

L_{4} (t) = (0, 0, 3) + t (0, 2, 2) .

Si se intersecan, calcule el punto de intersección.

Solución. Las rectas son paralelas pues $(0, 2, 2) = 2 (0, 1, 1)$ (o también $n = (0, 0, 0) .$ ). Entonces,

$d (L_{3}, L_{4}) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |} = \frac{| | (- 2, 0, 0) \times (0, 1, 1) | |}{| | (0, 1, 1) | |} = 2$

4

Calcule la distancia entre

L_{5} (t) = (- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0)

L_{6} (t) = (- 5, 2, 1) + t (- 2, - 3, 0) .

Si se intersecan, calcule el punto de intersección.

Solución. $n = (4, 1, 0) \times (- 2, - 3, 0) = (0, 0, 10) .$ Entonces,

$d (L_{5} L_{6}) = \frac{| | PQ \times u | |}{| | u | |} = \frac{| | (- 4, - 1, 0) \times (4, 1, 0) | |}{| | (4, 1, 0) | |} = 0 .$

Como $n \neq 0,$ estas rectas se intersecan en un punto. Aunque podemos usar la fórmula, en esta ocasión vamos a resolver el sistema.

$(- 1, 3, 1) + t (4, 1, 0) = (- 5, 2, 1) + s (- 2, - 3, 0) ⟹ t = - 1, s = 0 .$

Entonces el punto intersección es $I = L_{5} (- 1) = L_{6} (0) = (- 5, 2, 1) .$

4.1Considere las rectas

L_{5} (t) = (1, 1, 1) + t (1, - 1, 1)

L_{6} (t) = (3, - 1, 1) + t (- 1, 1, 2) .

¿Son estas rectas ortogonales (perpendiculares)?

4.2Calcule la distancia del punto

Q = (1, 1, 2)

a la recta

L (t) : (2, 3, 2) + t (1, 2, 0) .

4.3 Hallar una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto

A = (1, - 2, 4)

y es paralela a la recta que pasa por los puntos

B = (- 5, 7, 0)

C = (6, - 3, 3)

\frac{x - 1}{11} = \frac{y + 2}{- 10} = \frac{z - 4}{3}

4.4 Hallar la distancia entre el punto

(- 2, 3, 0)

y la recta

\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z + 1}{2}

\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{45}}

4.5Considere la recta

L_{1} (t) = (1, 1, 1) + t (1, - 1, 1)

. Determine dos rectas de ecuación

L_{2} : (x, y, z) = P + t v

L_{3} : (x, y, z) = Q + t w

tal que

1: $L_{2}$ y $L_{3}$ están en el plano $XY$
2: $L_{2}$ y $L_{3}$ son perpendiculares
3: $L_{2}$ y $L_{3}$ son perpendiculares a $L_{1}$

Una solución general para los tres ítemes puede ser: $L_{2} (t) = (1, 1, 1) + t v$ y $L_{3} (t) = (1, 1, 1) + t w .$ Los vectores $v = (v_{1}, v_{2}, 0)$ y $w = (w_{1}, w_{2}, 0)$ son una solución particular del sistema ${\begin{matrix} v \cdot (1, - 1, 1) & = & 0 \\ w \cdot (1, - 1, 1) & = & 0 \end{matrix}$